Di ruang barisan 
kita mempunyai sedikitnya dua norma-n. Yang pertama adalah norma-n yang didefinisikan oleh G
hler dengan menggunakan ruang dual dari 
yaitu ruang 
dengan 
Persisnya, norma-n yang dimaksud adalah
![\|x_1,\dots,x_n\|_p^*:=\sup\limits_{\|z_i\|_q\le1,\ i=1,\dots,n} \det \bigl[\sum\limits_k x_{ik}z_{jk}\bigr]_{i,j},](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5C%7Cx_1%2C%5Cdots%2Cx_n%5C%7C_p%5E%2A%3A%3D%5Csup%5Climits_%7B%5C%7Cz_i%5C%7C_q%5Cle1%2C%5C+i%3D1%2C%5Cdots%2Cn%7D+%5Cdet+%5Cbigl%5B%5Csum%5Climits_k+x_%7Bik%7Dz_%7Bjk%7D%5Cbigr%5D_%7Bi%2Cj%7D%2C&bg=%23ffffff&fg=%23000000&s=0&c=20201002)
dengan 
menyatakan norma biasa di 
Yang kedua adalah norma-n yang saya definisikan dalam paper “The space of p-summable sequences and its natural n-norm“, yakni
![\|x_1,\dots,x_n\|_p^{**}:=\Bigl( \frac{1}{n!} \sum\limits_{k_1} \cdots \sum\limits_{k_n} \det [x_{ik_j}]_{i,j}\Bigr)^{1/p}.](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5C%7Cx_1%2C%5Cdots%2Cx_n%5C%7C_p%5E%7B%2A%2A%7D%3A%3D%5CBigl%28+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%21%7D+%5Csum%5Climits_%7Bk_1%7D+%5Ccdots+%5Csum%5Climits_%7Bk_n%7D+%5Cdet+%5Bx_%7Bik_j%7D%5D_%7Bi%2Cj%7D%5CBigr%29%5E%7B1%2Fp%7D.&bg=%23ffffff&fg=%23000000&s=0&c=20201002)
Pertanyaannya kemudian adalah: apakah kedua norma-n ini ekuivalen, yakni apakah terdapat 
dan 
sedemikian sehingga
untuk setiap 
Catat jika kedua norma-n tersebut ekuivalen, maka barisan yang konvergen di 
akan konvergen juga di 
dan sebaliknya. Nah, dalam paper “Equivalence of n norms on the space of p-summable sequences“, fakta itulah yang Anwar Mutaqin (mahasiswa S2 bimbingan saya ketika itu) dan saya buktikan.
Namun, pada saat itu, kami belum bisa mendapatkan berapa persisnya konstanta dan yang memenuhi ketaksamaan di atas. Kelak ada mahasiswa S2 bimbingan saya yang bernama R. Akbar Wijayakusumah yang berhasil mendapatkan kedua konstanta tersebut.
*
Bandung, 12-03-2019
Like this:
Like Loading...
Bermatematika 