Ekuivalensi Norma-n di Ruang Barisan-p

Di ruang barisan \ell^p (1\le p\le \infty), kita mempunyai sedikitnya dua norma-n. Yang pertama adalah norma-n yang didefinisikan oleh G\ddot{a}hler dengan menggunakan ruang dual dari \ell^p, yaitu ruang \ell^q dengan \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1. Persisnya, norma-n yang dimaksud adalah

\|x_1,\dots,x_n\|_p^*:=\sup\limits_{\|z_i\|_q\le1,\ i=1,\dots,n} \det \bigl[\sum\limits_k x_{ik}z_{jk}\bigr]_{i,j},

dengan \|\cdot\|_q menyatakan norma biasa di \ell^q.

Yang kedua adalah norma-n yang saya definisikan dalam paper “The space of p-summable sequences and its natural n-norm“, yakni

\|x_1,\dots,x_n\|_p^{**}:=\Bigl( \frac{1}{n!} \sum\limits_{k_1} \cdots \sum\limits_{k_n} \det [x_{ik_j}]_{i,j}\Bigr)^{1/p}.

Pertanyaannya kemudian adalah: apakah kedua norma-n ini ekuivalen, yakni apakah terdapat C_1 dan C_2>0 sedemikian sehingga

C_1\|x_1,\dots,x_n\|_p* \le \|x_1,\dots,x_2\|_p^{**} \le C_2\|x_1,\dots,x_n\|_p^*

untuk setiap x_1,\dots,x_n\in \ell^p.

Catat jika kedua norma-n tersebut ekuivalen, maka barisan yang konvergen di (\ell^p,\|\cdot,\dots,\cdot\|_p^{**}) akan konvergen juga di (\ell^p,\|\cdot,\dots,\cdot\|_p^*), dan sebaliknya. Nah, dalam paper “Equivalence of n norms on the space of p-summable sequences“, fakta itulah yang Anwar Mutaqin (mahasiswa S2 bimbingan saya ketika itu) dan saya buktikan.

Namun, pada saat itu, kami belum bisa mendapatkan berapa persisnya konstanta C_1 dan C_2>0 yang memenuhi ketaksamaan di atas. Kelak ada mahasiswa S2 bimbingan saya yang bernama R. Akbar Wijayakusumah yang berhasil mendapatkan kedua konstanta tersebut.

*

Bandung, 12-03-2019

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s