Hubungan antara Rerata, Median, dan Nilai Tengah

Diberikan data bilangan x1, x2, … , xN (yang terurut naik), ada hubungan yang menarik antara rerata (r), median (m), dan nilai tengah (t), yaitu

Ketaksamaan mrt ini memberi tahu kita bahwa simpangan baku (terhadap rerata) senantiasa berada di antara rerata simpangan mutlak (terhadap median) dan simpangan maksimum (terhadap nilai tengah).

Ketaksamaan mrt hanya merupakan kasus khusus dari suatu ketaksamaan yang berlaku umum, yaitu

untuk 1 ≤ pq ≤ ∞, dengan μp menyatakan bilangan yang bersifat

untuk setiap x ϵ R. Dalam hal ini, μ1 = m (median), μ2 = r (rerata), dan μ = t (nilai tengah) — lihat dua artikel sebelumnya.

Untuk membuktikan ketaksamaan di atas, perhatikan bahwa

Ketaksamaan terakhir diperoleh dengan menggunakan Ketaksamaan Hölder. Sebagai akibatnya, kita peroleh

Selanjutnya tinggal bagi kedua ruas dengan N, lalu ambil akar ke-p dari kedua ruas.

Catatan: Apakah statistikawan memanfaatkan ketaksamaan mrt? Mungkin, tetapi saya tidak tahu persisnya untuk keperluan apa.

*

Bandung, 18-08-2017

Advertisements

2 comments

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s