Diberikan data bilangan x1, x2, … , xN (yang terurut naik), ada hubungan yang menarik antara rerata (r), median (m), dan nilai tengah (t), yaitu
Ketaksamaan m–r–t ini memberi tahu kita bahwa simpangan baku (terhadap rerata) senantiasa berada di antara rerata simpangan mutlak (terhadap median) dan simpangan maksimum (terhadap nilai tengah).
Ketaksamaan m–r–t hanya merupakan kasus khusus dari suatu ketaksamaan yang berlaku umum, yaitu
untuk 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞, dengan μp menyatakan bilangan yang bersifat
untuk setiap x ϵ R. Dalam hal ini, μ1 = m (median), μ2 = r (rerata), dan μ∞ = t (nilai tengah) — lihat dua artikel sebelumnya.
Untuk membuktikan ketaksamaan di atas, perhatikan bahwa
Ketaksamaan terakhir diperoleh dengan menggunakan Ketaksamaan Hölder. Sebagai akibatnya, kita peroleh
Selanjutnya tinggal bagi kedua ruas dengan N, lalu ambil akar ke-p dari kedua ruas.
Catatan: Apakah statistikawan memanfaatkan ketaksamaan m–r–t? Mungkin, tetapi saya tidak tahu persisnya untuk keperluan apa.
*
Bandung, 18-08-2017
2 Comments