Ketaksamaan Hermite-Hadamard

Masih ingat ketaksamaan mrt yang menyatakan hubungan antara median, rerata, dan nilai tengah dari suatu data diskrit kan? Nah, untuk data kontinu, kita mempunyai ketaksamaan Hermite-Hadamard, yang lebih gamblang.

Jika f : [a, b] → R merupakan fungsi konveks (cekung ke atas), maka

M ≤ R ≤ T

dengan M:= f(½(a + b)) menyatakan nilai f di tengah [a, b], R menyatakan nilai rerata f pada [ab], yakni

dan T:= ½{f(a) + f(b)} menyatakan nilai tengah f pada [a, b].

Bukti ketaksamaan di atas cukup mudah. Karena f konveks, mestilah terdapat garis yang melalui titik (½(a + b), f(½(a + b)) dan berada di bawah kurva y = f(x). Selanjutnya kita tinggal membandingkan luas daerah di bawah garis ini, luas daerah di bawah kurva y = f(x), dan luas daerah di bawah ruas garis yang menghubungkan titik (a, f(a)) dan titik (b, f(b)). Secara visual, situasinya seperti pada gambar di bawah ini:

Kembali ke data diskrit, andai kita mempunyai informasi tambahan bahwa datanya naik dengan pertambahan yang semakin besar, maka kita dapat pula membuktikan bahwa m ≤ t. Sila coba!

*

Bandung, 05-09-2017

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s