Rata-rata Aritmetik Meminimumkan Galat Kuadrat Total

Selain merupakan penaksir tak bias dari n bilangan yang diwakilinya, rata-rata aritmetik juga meminimumkan galat kuadrat total.

Persisnya, diberikan n bilangan real x₁, x₂, … , x_n, misalkan kita ingin menentukan suatu bilangan x sedemikian sehingga

Perhatikan bahwa

suatu fungsi kuadrat dalam x. Nah, bagi Anda yang sudah akrab dengan fungsi kuadrat, Anda pasti tahu bahwa E akan mencapai nilai minimum ketika

yakni ketika x sama dengan rata-rata aritmetik dari x₁, x₂, … , x_n. Jadi rata-rata aritmetik adalah penaksir yang meminimumkan galat kuadrat total.

Problem: Tentukan bilangan x yang meminimumkan

apabila x₁ < x₂ < … < x_n.

*

Bandung, 11-08-2017