fungsi kuadrat

Rerata Aritmetik Meminimumkan Galat Kuadrat Total

Selain merupakan penaksir tak bias dari n bilangan yang diwakilinya, rerata aritmetik juga meminimumkan galat kuadrat total.

Persisnya, diberikan n bilangan real x1, x2, … , xn, misalkan kita ingin menentukan suatu bilangan x sedemikian sehingga

Perhatikan bahwa

suatu fungsi kuadrat dalam x. Nah, bagi Anda yang sudah akrab dengan fungsi kuadrat, Anda pasti tahu bahwa E akan mencapai nilai minimum ketika

yakni ketika x sama dengan rerata aritmetik dari x1, x2, … , xn. Jadi rerata aritmetik adalah penaksir yang meminimumkan galat kuadrat total.

Problem: Tentukan bilangan x yang meminimumkan

apabila x1 < x2 < … < xn.

*

Bandung, 11-08-2017

Advertisements

Hasil Kali Skalar

Dalam buku-buku yang membahas ruang vektor, biasanya ada definisi hasil kali titik (dot product) atau hasil kali skalar (scalar product). Di Rn, hasil kali skalar antara dua vektor x = (x1, …, xn) dan y = (y1, … , yn) didefinisikan dengan rumus

xy = x1y1 + … + xnyn,

namun sering kali si pengarang tidak memberi penjelasan dari mana rumus tersebut diperoleh atau mengapa rumusnya harus seperti itu. Nah, artikel singkat ini akan menjelaskan mengapa hasil kali titik di Rn mempunyai rumus seperti itu.

Misalkan kita mempunyai sebuah garis l di Rn, yang katakanlah (untuk mempermudah pembahasan) melalui titik asal O(0, …, 0) dan A(a1, …, an). Jadi koordinat sebarang titik di l adalah k(a1, …, an) untuk suatu bilangan real k. Misalkan kita juga mempunyai sebuah titik Q(q1, …, qn) di luar garis l, dan kita ingin mencari titik P(p1, …, pn) pada garis l yang paling dekat ke Q.

Jarak antara titik P(p1, …, pn) dan Q(q1, …, qn) di Rn dalam hal ini diberikan oleh rumus

hasil-kali-skalar_1

Rumus jarak ini merupakan perumuman dari Dalil Pythagoras (terkait segitiga siku-siku).

Nah, mengingat P = kA untuk suatu bilangan real k, persoalan di atas sama saja dengan mencari k sedemikian sehingga |kAQ|2 minimum. Tetapi

hasil-kali-skalar_2

yang merupakan fungsi kuadrat dalam k, dan grafiknya berupa suatu parabola yang terbuka ke atas. Dari pengetahuan tentang fungsi kuadrat, kita tahu bahwa |kAQ|2 akan mencapai minimum apabila

hasil-kali-skalar_3

Perhatikan juga bahwa dengan nilai k di atas, kita mempunyai

|kA – O|2 + |kAQ|2 = |Q – O|2.

Dalam hal ini, vektor OB = OQk.OA tegak lurus terhadap vektor k.OA (dan akibatnya OB juga tegak lurus terhadap OA, termasuk ketika k = 0), dan vektor k.OA dikenal sebagai vektor proyeksi dari vektor OQ terhadap vektor OA.

vektor-proyeksi-ortogonal

 

Nah, karena bentuk penjumlahan hasil kali a1q1 + … anqn muncul dalam solusi persoalan yang kita anggap penting, maka kita definisikan hasil kali skalar a1q1 + … anqn = aq. Jadi rumus ini bukan turun dari langit, tetapi diperoleh dari persoalan mencari titik terdekat.

Dengan rumus hasil kali skalar ini, dua vektor OA dan OB saling tegak lurus jika dan hanya jika ab = a1b1 + … + anbn = 0.

Selanjutnya anda dapat mempelajari dari buku sifat-sifat apa saja yang dimiliki oleh hasil kali skalar di Rn.

*

Bandung, 25-11-2016