sistem bilangan terner

Ukuran Himpunan Cantor Terner

Himpunan Cantor terner yang pernah dibahas di blog ini merupakan contoh himpunan berukuran nol yang bukan himpunan terbilang.

Dari mana kita tahu bahwa himpunan Cantor terner berukuran nol? Ingat bagaimana kita mengonstruksi himpunan tersebut, yaitu dengan membuang interval-interval (⅓, ⅔), (1/9, 2/9), (7/9, 8/9), dan seterusnya, dari interval [0, 1].

Ukuran himpunan yang dibuang dalam hal ini sama dengan 1/3 + 2/9 + 4/27 + … = 1. Jadi, mengingat ukuran interval [0, 1] sama dengan 1, himpunan yang tersisa mestilah berukuran nol.

Sementara itu ketakterbilangan himpunan Cantor terner dapat dijelaskan sebagai berikut. Dari konstruksinya, jelas bahwa himpunan Cantor terner beranggotakan semua bilangan yang tidak mengandung angka 1 di belakang tanda koma dalam sistem bilangan terner (berbasis 3). Sebagai contoh, ⅓ = [0,022222…]3 dan ¼ = [0,020202…]3 merupakan anggota himpunan Cantor terner. Selanjutnya perhatikan bahwa pemetaan

[0,c1c2c3c4c5…]3 → [0,b1b2b3b4b5…]2

dengan bi = ci/2, i = 1, 2, 3, …, merupakan korespondensi 1-1 antara himpunan Cantor terner dan himpunan semua bilangan biner di [0, 1]. Nah, karena [0, 1] tak terbilang, maka mestilah himpunan Cantor terner juga tak terbilang.

*

Bandung, 01-08-2017

Advertisements

Himpunan Cantor Terner

Bila Anda merasa sudah cukup akrab dengan bilangan real, tetapi belum berkenalan dengan himpunan Cantor terner, pemahaman Anda tentang bilangan real belum lengkap. Artikel ini memperkenalkan himpunan yang menyandang nama matematikawan Georg Cantor (1845-1918) tersebut, yang disadur dari buku Menuju Tak Terhingga (Penerbit ITB, 2016). Di akhir artikel, ada problem kecil untuk Anda, untuk mengecek apakah Anda sudah memahami himpunan unik ini.

Himpunan Cantor terner dikonstruksi secara iteratif, sebagai berikut. Dimulai dengan interval tutup I0 := [0, 1], kita bagi interval ini menjadi tiga bagian sama panjang, dan kita buang interval buka (⅓, ⅔) yang berada di tengah. Sisanya adalah gabungan dua interval tutup, [0, ⅓] ∪ [⅔, 1] =: I1.

Himpunan Cantor Terner_1

Himpunan Cantor Terner

Selanjutnya, kita bagi masing-masing interval pada I1 menjadi tiga bagian sama panjang, dan kita buang kedua interval buka di tengah. Sisanya merupakan gabungan empat interval tutup, yaitu [0, 1/9] ∪ [2/9, 3/9] ∪ [6/9, 7/9] ∪ [8/9, 1] =: I2. Proses ini kita lanjutkan terus ad infinitum: Pada langkah ke-i, kita peroleh himpunan Ii yang merupakan gabungan dari sejumlah interval tutup (2i banyaknya). Perhatikan bahwa

Himpunan Cantor Terner 2

Selanjutnya, misalkan

Himpunan Cantor Terner_3

yaitu irisan dari semua himpunan Ii. Titik-titik ujung interval Ii, seperti 1/3, 7/9, 26/27, dan seterusnya, jelas merupakan anggota H. Jadi, H bukan himpunan kosong. Tetapi, anggota H bukan hanya titik-titik ujung interval tersebut!

Sebagai contoh, ¼ adalah anggota H yang bukan titik ujung salah satu interval tersebut. Dalam sistem bilangan terner (basis 3), anggota H adalah semua bilangan yang tidak mengandung angka 1 di belakang tanda koma. Nah,

Himpunan Cantor Terner_4

sehingga ia merupakan anggota H. (Perhatikan bahwa deret di atas merupakan deret geometri dengan rasio 1/9.) Dari angka-angka di belakang tanda koma, kita bisa mengetahui bahwa pada proses pembuangan interval di tengah yang pertama, ¼ berada di interval bagian paling kiri, yaitu [0, ⅓], karena itu ia ‘selamat’. Lalu, pada proses pembuangan interval di tengah yang kedua, ia berada di interval bagian paling kanan dari [0, ⅓], sehingga ia tetap selamat, dan begitu seterusnya.

Problem: Buktikan bahwa 3/10 merupakan anggota H.

Catatan. Himpunan H, yang dikenal sebagai himpunan Cantor terner, termasuk dalam kategori fraktal. Dari proses pembentukannya, jelas bahwa H tidak memuat interval sekecil apapun. Namun demikian, dapat dibuktikan bahwa H memiliki kardinalitas yang sama dengan R. Ini berarti bahwa anggota H jauh lebih banyak daripada bilangan rasional.

*

Bandung, 18-08-2016