Himpunan Cantor terner

Ukuran Himpunan Cantor Terner

Himpunan Cantor terner yang pernah dibahas di blog ini merupakan contoh himpunan berukuran nol yang bukan himpunan terbilang.

Dari mana kita tahu bahwa himpunan Cantor terner berukuran nol? Ingat bagaimana kita mengonstruksi himpunan tersebut, yaitu dengan membuang interval-interval (⅓, ⅔), (1/9, 2/9), (7/9, 8/9), dan seterusnya, dari interval [0, 1].

Ukuran himpunan yang dibuang dalam hal ini sama dengan 1/3 + 2/9 + 4/27 + … = 1. Jadi, mengingat ukuran interval [0, 1] sama dengan 1, himpunan yang tersisa mestilah berukuran nol.

Sementara itu ketakterbilangan himpunan Cantor terner dapat dijelaskan sebagai berikut. Dari konstruksinya, jelas bahwa himpunan Cantor terner beranggotakan semua bilangan yang tidak mengandung angka 1 di belakang tanda koma dalam sistem bilangan terner (berbasis 3). Sebagai contoh, ⅓ = [0,022222…]3 dan ¼ = [0,020202…]3 merupakan anggota himpunan Cantor terner. Selanjutnya perhatikan bahwa pemetaan

[0,c1c2c3c4c5…]3 → [0,b1b2b3b4b5…]2

dengan bi = ci/2, i = 1, 2, 3, …, merupakan korespondensi 1-1 antara himpunan Cantor terner dan himpunan semua bilangan biner di [0, 1]. Nah, karena [0, 1] tak terbilang, maka mestilah himpunan Cantor terner juga tak terbilang.

*

Bandung, 01-08-2017

Advertisements

Fungsi Tangga Cantor

Masih ingat himpunan Cantor terner? Nah, terkait dengan himpunan Cantor terner, ada fungsi tangga Cantor yang grafiknya seperti diperlihatkan di bawah ini.

cantor-function

Fungsi ini kontinu dan monoton naik pada [0, 1], tetapi tidak mempunyai turunan di titik-titik ujung interval Ii.

Problem (mudah): Berapa luas daerah di bawah kurva fungsi tangga Cantor ini?

*

Bandung, 14-11-2016

Dimensi Himpunan Cantor Terner

Himpunan Cantor Terner yang telah diperkenalkan sebelumnya merupakan suatu fraktal berdimensi d = ln 2/ln 3 ≈ 0,63. Kok bisa ya dimensinya bukan bilangan bulat? Bagaimana sih menentukan dimensinya?

Sebelum menjawab pertanyaan tersebut, tinjau interval I = [0, 1]. Bila kita dilasi interval I dengan faktor ½, maka kita peroleh interval [0, ½]. Nah, I = [0, ½] ∪ [½, 1]. Jadi I terdiri atas 2 interval bagian, masing-masing interval bagian setara dengan hasil dilasi dari I dengan faktor ½. Serupa dengan itu kita akan peroleh 3 interval bagian yang setara dengan hasil dilasi dari I dengan faktor ⅓. Secara umum, kita akan peroleh n interval bagian yang setara dengan hasil dilasi dari I dengan faktor 1/n. Interval I = [0, 1] dalam hal ini memiliki dimensi 1 = -ln(n)/ln(1/n).

Sekarang tinjau persegi S = [0, 1] × [0, 1] = [0, 1]2. Bila kita dilasi S dengan faktor ½, maka kita peroleh persegi [0, ½]2. Perhatikan bahwa S terdiri atas 4 persegi bagian, masing-masing bagian setara dengan hasil dilasi dari S dengan faktor ½. Secara umum, kita akan peroleh n2 persegi bagian yang setara dengan hasil dilasi dari S dengan faktor 1/n. Persegi S = [0, 1]2 dalam hal ini memiliki dimensi 2 = -ln(n2)/ln(1/n).

Dengan cara yang sama, kita dapat ‘membuktikan’ bahwa balok Q = [0, 1]3 memiliki dimensi 3 = -ln(n3)/ln(1/n).

Ketiga fakta di atas, yaitu bahwa interval berdimensi 1, persegi berdimensi 2, dan balok berdimensi 3, tentu saja bukan sesuatu yang mengejutkan. Informasi baru yang kita dapatkan adalah bahwa dimensinya sama dengan –ln(m)/ln(1/n), dengan m menyatakan banyaknya bentuk yang setara dengan hasil dilasi yang diperoleh ketika kita dilasi bentuk semula dengan faktor 1/n.

Lalu bagaimana dengan dimensi Himpunan Cantor Terner (H) itu? Nah, bila kita tengok kembali bagaimana himpunan tersebut dikonstruksi, maka kita dapatkan bahwa, ketika kita dilasi H dengan faktor ⅓, maka kita peroleh 2 (bukannya 3) himpunan bagian yang setara dengan hasil dilasinya.

Himpunan Cantor Terner_1

Selanjutnya, jika kita dilasi dengan faktor 1/9, maka kita peroleh 4 himpunan bagian yang setara dengan hasil dilasinya. Secara umum, kita akan peroleh 2k himpunan bagian yang setara dengan hasil dilasi dari H dengan faktor 1/3k. Jadi, kita simpulkan bahwa dimensi dari Himpunan Cantor Terner sama dengan d = -ln(2k)/ln(1/3k) = ln 2/ln 3.

Nah, lucu juga kan, ternyata di dunia matematika (dan sesungguhnya di alam nyata juga) ada objek yang memiliki dimensi bilangan real positif sembarang, bukan bilangan bulat positif.

Anda juga dapat menemukan objek matematika yang memiliki dimensi di antara 1 dan 2, atau objek lainnya dengan dimensi di antara 2 dan 3. Have fun with them!

*

Bandung, 29-08-2016

Himpunan Cantor Terner

Bila Anda merasa sudah cukup akrab dengan bilangan real, tetapi belum berkenalan dengan himpunan Cantor terner, pemahaman Anda tentang bilangan real belum lengkap. Artikel ini memperkenalkan himpunan yang menyandang nama matematikawan Georg Cantor (1845-1918) tersebut, yang disadur dari buku Menuju Tak Terhingga (Penerbit ITB, 2016). Di akhir artikel, ada problem kecil untuk Anda, untuk mengecek apakah Anda sudah memahami himpunan unik ini.

Himpunan Cantor terner dikonstruksi secara iteratif, sebagai berikut. Dimulai dengan interval tutup I0 := [0, 1], kita bagi interval ini menjadi tiga bagian sama panjang, dan kita buang interval buka (⅓, ⅔) yang berada di tengah. Sisanya adalah gabungan dua interval tutup, [0, ⅓] ∪ [⅔, 1] =: I1.

Himpunan Cantor Terner_1

Himpunan Cantor Terner

Selanjutnya, kita bagi masing-masing interval pada I1 menjadi tiga bagian sama panjang, dan kita buang kedua interval buka di tengah. Sisanya merupakan gabungan empat interval tutup, yaitu [0, 1/9] ∪ [2/9, 3/9] ∪ [6/9, 7/9] ∪ [8/9, 1] =: I2. Proses ini kita lanjutkan terus ad infinitum: Pada langkah ke-i, kita peroleh himpunan Ii yang merupakan gabungan dari sejumlah interval tutup (2i banyaknya). Perhatikan bahwa

Himpunan Cantor Terner 2

Selanjutnya, misalkan

Himpunan Cantor Terner_3

yaitu irisan dari semua himpunan Ii. Titik-titik ujung interval Ii, seperti 1/3, 7/9, 26/27, dan seterusnya, jelas merupakan anggota H. Jadi, H bukan himpunan kosong. Tetapi, anggota H bukan hanya titik-titik ujung interval tersebut!

Sebagai contoh, ¼ adalah anggota H yang bukan titik ujung salah satu interval tersebut. Dalam sistem bilangan terner (basis 3), anggota H adalah semua bilangan yang tidak mengandung angka 1 di belakang tanda koma. Nah,

Himpunan Cantor Terner_4

sehingga ia merupakan anggota H. (Perhatikan bahwa deret di atas merupakan deret geometri dengan rasio 1/9.) Dari angka-angka di belakang tanda koma, kita bisa mengetahui bahwa pada proses pembuangan interval di tengah yang pertama, ¼ berada di interval bagian paling kiri, yaitu [0, ⅓], karena itu ia ‘selamat’. Lalu, pada proses pembuangan interval di tengah yang kedua, ia berada di interval bagian paling kanan dari [0, ⅓], sehingga ia tetap selamat, dan begitu seterusnya.

Problem: Buktikan bahwa 3/10 merupakan anggota H.

Catatan. Himpunan H, yang dikenal sebagai himpunan Cantor terner, termasuk dalam kategori fraktal. Dari proses pembentukannya, jelas bahwa H tidak memuat interval sekecil apapun. Namun demikian, dapat dibuktikan bahwa H memiliki kardinalitas yang sama dengan R. Ini berarti bahwa anggota H jauh lebih banyak daripada bilangan rasional.

*

Bandung, 18-08-2016