Himpunan Cantor Terner yang telah diperkenalkan sebelumnya merupakan suatu fraktal berdimensi d = ln 2/ln 3 ≈ 0,63. Kok bisa ya dimensinya bukan bilangan bulat? Bagaimana sih menentukan dimensinya?
Sebelum menjawab pertanyaan tersebut, tinjau interval I = [0, 1]. Bila kita dilasi interval I dengan faktor ½, maka kita peroleh interval [0, ½]. Nah, I = [0, ½] ∪ [½, 1]. Jadi I terdiri atas 2 interval bagian, masing-masing interval bagian setara dengan hasil dilasi dari I dengan faktor ½. Serupa dengan itu kita akan peroleh 3 interval bagian yang setara dengan hasil dilasi dari I dengan faktor ⅓. Secara umum, kita akan peroleh n interval bagian yang setara dengan hasil dilasi dari I dengan faktor 1/n. Interval I = [0, 1] dalam hal ini memiliki dimensi 1 = -ln(n)/ln(1/n).
Sekarang tinjau persegi S = [0, 1] × [0, 1] = [0, 1]2. Bila kita dilasi S dengan faktor ½, maka kita peroleh persegi [0, ½]2. Perhatikan bahwa S terdiri atas 4 persegi bagian, masing-masing bagian setara dengan hasil dilasi dari S dengan faktor ½. Secara umum, kita akan peroleh n2 persegi bagian yang setara dengan hasil dilasi dari S dengan faktor 1/n. Persegi S = [0, 1]2 dalam hal ini memiliki dimensi 2 = -ln(n2)/ln(1/n).
Dengan cara yang sama, kita dapat ‘membuktikan’ bahwa balok Q = [0, 1]3 memiliki dimensi 3 = -ln(n3)/ln(1/n).
Ketiga fakta di atas, yaitu bahwa interval berdimensi 1, persegi berdimensi 2, dan balok berdimensi 3, tentu saja bukan sesuatu yang mengejutkan. Informasi baru yang kita dapatkan adalah bahwa dimensinya sama dengan –ln(m)/ln(1/n), dengan m menyatakan banyaknya bentuk yang setara dengan hasil dilasi yang diperoleh ketika kita dilasi bentuk semula dengan faktor 1/n.
Lalu bagaimana dengan dimensi Himpunan Cantor Terner (H) itu? Nah, bila kita tengok kembali bagaimana himpunan tersebut dikonstruksi, maka kita dapatkan bahwa, ketika kita dilasi H dengan faktor ⅓, maka kita peroleh 2 (bukannya 3) himpunan bagian yang setara dengan hasil dilasinya.
Selanjutnya, jika kita dilasi dengan faktor 1/9, maka kita peroleh 4 himpunan bagian yang setara dengan hasil dilasinya. Secara umum, kita akan peroleh 2k himpunan bagian yang setara dengan hasil dilasi dari H dengan faktor 1/3k. Jadi, kita simpulkan bahwa dimensi dari Himpunan Cantor Terner sama dengan d = -ln(2k)/ln(1/3k) = ln 2/ln 3.
Nah, lucu juga kan, ternyata di dunia matematika (dan sesungguhnya di alam nyata juga) ada objek yang memiliki dimensi bilangan real positif sembarang, bukan bilangan bulat positif.
Anda juga dapat menemukan objek matematika yang memiliki dimensi di antara 1 dan 2, atau objek lainnya dengan dimensi di antara 2 dan 3. Have fun with them!
*
Bandung, 29-08-2016
Bermatematika 