Deret Persegi dalam Persegi Bersisi Rasio Emas

Ada berapa banyak ‘pengubinan’ persegi dalam persegi, yang merupakan visualisasi (atau bukti tanpa kata-kata) dari deret tertentu, yang telah dibahas di blog ini? Lihat kembali (1) Deret Geometri dengan Rasio ¼, (2) Visualisasi Deret 1/4 + 2/8 + 3/16 + …, dan (3) Visualisasi Deret 8/9 + 8/81 + 8/729 + … . Sekarang ada satu lagi visualisasi dari sebuah deret yang mirip dengan deret (2), yang merupakan deret persegi dalam sebuah persegi bersisi Rasio Emas.

Sebelum melanjutkan membaca, Anda dapat mengerjakan problem ini terlebih dahulu: Buktikan jika R menyatakan Rasio Emas dan r := R – 1, maka r memenuhi persamaan

Persegi Bersisi Rasio Emas

Nah, dari sudut pandang geometri, ruas kiri persamaan di atas menyatakan luas persegi dengan sisi R = 1 + r, sementara suku ke-n di ruas kanan menyatakan luas n persegi dengan sisi rn–1 (sebagai contoh, suku ke-3, yaitu 3r4, menyatakan luas 3 persegi dengan sisi r2).

Pertanyaannya kemudian, bagaimana menyusun persegi-persegi kecil yang bersisi 1, r, r2, r3, dan seterusnya itu dalam persegi bersisi R = 1 + r? Erich Friedman telah melakukannya, lihat gambarnya di sini. Perhatikan bahwa susunannya mirip dengan visualisasi deret 1/4 + 2/8 + 3/16 + … .

Anda tentunya tahu bahwa pada Persegi Panjang Emas dengan panjang p + q dan lebar p, kita mempunyai (p + q) : p = p : q.

Golden Rectangle

Persegi Panjang Emas

Dengan fakta ini, kita dapat membuat susunan atau ‘pengubinan’ yang lebih cantik, yang memiliki pola replikasi seperti fraktal. Seperti biasa, saya dibantu oleh anak saya, Rubio Gunawan, untuk membuat gambarnya dengan komputer. Berikut adalah gambar yang dimaksud:

Golden Ratio Squares

Deret Persegi dalam Persegi Bersisi Rasio Emas

Apakah Anda dapat melihat pola replikasinya? Sangat menarik, ya kan?

*

Bandung, 22-08-2016

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s