Ada berapa banyak ‘pengubinan’ persegi dalam persegi, yang merupakan visualisasi (atau bukti tanpa kata-kata) dari deret tertentu, yang telah dibahas di blog ini? Lihat kembali (1) Deret Geometri dengan Rasio ¼, (2) Visualisasi Deret 1/4 + 2/8 + 3/16 + …, dan (3) Visualisasi Deret 8/9 + 8/81 + 8/729 + … . Sekarang ada satu lagi visualisasi dari sebuah deret yang mirip dengan deret (2), yang merupakan deret persegi dalam sebuah persegi bersisi Rasio Emas.
Sebelum melanjutkan membaca, Anda dapat mengerjakan problem ini terlebih dahulu: Buktikan jika R menyatakan Rasio Emas dan r := R – 1, maka r memenuhi persamaan
Nah, dari sudut pandang geometri, ruas kiri persamaan di atas menyatakan luas persegi dengan sisi R = 1 + r, sementara suku ke-n di ruas kanan menyatakan luas n persegi dengan sisi rn–1 (sebagai contoh, suku ke-3, yaitu 3r4, menyatakan luas 3 persegi dengan sisi r2).
Pertanyaannya kemudian, bagaimana menyusun persegi-persegi kecil yang bersisi 1, r, r2, r3, dan seterusnya itu dalam persegi bersisi R = 1 + r? Erich Friedman telah melakukannya, lihat gambarnya di sini. Perhatikan bahwa susunannya mirip dengan visualisasi deret 1/4 + 2/8 + 3/16 + … .
Anda tentunya tahu bahwa pada Persegi Panjang Emas dengan panjang p + q dan lebar p, kita mempunyai (p + q) : p = p : q.
Dengan fakta ini, kita dapat membuat susunan atau ‘pengubinan’ yang lebih cantik, yang memiliki pola replikasi seperti fraktal. Seperti biasa, saya dibantu oleh anak saya, Rubio Gunawan, untuk membuat gambarnya dengan komputer. Berikut adalah gambar yang dimaksud:
Apakah Anda dapat melihat pola replikasinya? Sangat menarik, ya kan?
*
Bandung, 22-08-2016
Bermatematika 