Deret Tak Terhingga – I

Deret tak terhingga bilangan real a1 + a2 + a3 + … dikatakan konvergen ke s, dan kita tuliskan

deret1-1

apabila jumlah parsial-nya, yaitu sn := a1 + a2 + … + an, konvergen ke s — yakni apabila untuk setiap bilangan ε > 0 terdapat bilangan asli n0 sedemikian sehingga |sns| < ε untuk nn0. Bilangan s dalam hal ini sering disebut sebagai jumlah deret tersebut.

Sebagai contoh, deret geometri a + ar + ar2ar3 + … , dengan a ≠ 0, konvergen ke a/(1 – r) jika dan hanya jika -1 < r < 1. Perhatikan bahwa jumlah parsial deret geometri ini adalah sn = a(1 – rn)/(1 – r), yang konvergen ke a/(1 – r) jika dan hanya jika -1 < r < 1. [Di sini kita menggunakan fakta bahwa rn konvergen ke 0 jika dan hanya jika -1 < r < 1.]

Selain deret geometri, deret yang relatif mudah ditentukan kekonvergenannya adalah deret teleskopis, yaitu deret yang berbentuk (b1b2) + (b2b3) + (b3b4) + … . Jumlah parsial deret ini adalah sn = b1bn+1 (suku-suku lainnya saling menghapuskan). Jadi, deret ini akan konvergen ke b1b jika dan hanya jika bn konvergen ke b. Sebagai contoh, deret

deret1-2

merupakan deret teleskopis yang konvergen ke 1 (karena b1 = 1 dan bn = 1/n konvergen ke 0).

Tentu tidak semua deret konvergen. Deret yang tidak konvergen ke bilangan manapun disebut deret divergen. Untuk memeriksa kekonvergenan suatu deret, kadang kita menggunakan Uji Banding atau uji lainnya. Sebagai contoh, deret

deret1-3

mestilah konvergen karena

deret1-4

untuk setiap n, dan kita telah mengetahui bahwa deret teleskopis yang mendominasinya merupakan deret yang konvergen. Namun, untuk mengetahui deret tersebut konvergen ke mana, kita harus meminta bantuan deret Fourier — yang akan kita bahas pada suatu saat nanti. Sebagai bocoran, deret di atas konvergen ke π²/6.

*

Bandung, 16-04-2016

Advertisements

One comment

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s