Deret Tak Terhingga – I

Deret tak terhingga bilangan real a₁ + a₂ + a₃ + … dikatakan konvergen ke s, dan kita tuliskan

apabila jumlah parsial-nya, yaitu s_n := a₁ + a₂ + … + a_n, konvergen ke s — yakni apabila untuk setiap bilangan ε > 0 terdapat bilangan asli n₀ sedemikian sehingga |s_n – s| < ε untuk n ≥ n₀. Bilangan s dalam hal ini sering disebut sebagai jumlah deret tersebut.

Sebagai contoh, deret geometri a + ar + ar² + ar³ + … , dengan a ≠ 0, konvergen ke a/(1 – r) jika dan hanya jika -1 < r < 1. Perhatikan bahwa jumlah parsial deret geometri ini adalah s_n = a(1 – rⁿ)/(1 – r), yang konvergen ke a/(1 – r) jika dan hanya jika -1 < r < 1. [Di sini kita menggunakan fakta bahwa rⁿ konvergen ke 0 jika dan hanya jika -1 < r < 1.]

Selain deret geometri, deret yang relatif mudah ditentukan kekonvergenannya adalah deret teleskopis, yaitu deret yang berbentuk (b₁ – b₂) + (b₂ – b₃) + (b₃ – b₄) + … . Jumlah parsial deret ini adalah s_n = b₁ – b_n+1 (suku-suku lainnya saling menghapuskan). Jadi, deret ini akan konvergen ke b₁ – b jika dan hanya jika b_n konvergen ke b. Sebagai contoh, deret

merupakan deret teleskopis yang konvergen ke 1 (karena b₁ = 1 dan b_n = 1/n konvergen ke 0).

Tentu tidak semua deret konvergen. Deret yang tidak konvergen ke bilangan manapun disebut deret divergen. Untuk memeriksa kekonvergenan suatu deret, kadang kita menggunakan Uji Banding atau uji lainnya. Sebagai contoh, deret

mestilah konvergen karena

untuk setiap n, dan kita telah mengetahui bahwa deret teleskopis yang mendominasinya merupakan deret yang konvergen. Namun, untuk mengetahui deret tersebut konvergen ke mana, kita harus meminta bantuan deret Fourier — yang akan kita bahas pada suatu saat nanti. Sebagai bocoran, deret di atas konvergen ke π²/6.

*

Bandung, 16-04-2016