Deret Pangkat

Setelah cukup akrab dengan deret bilangan, marilah kita tengok deret fungsi, khususnya deret fungsi pangkat, singkatnya deret pangkat, yaitu deret yang berbentuk

dengan x bilangan real. Diberikan suatu deret pangkat dengan koefisien a_n tertentu (diketahui), pertanyaan kita adalah: untuk x berapakah deret tersebut konvergen, dan konvergen ke mana?

Sebagai contoh, deret pangkat 1 + x + x² + x³ + … konvergen ke 1/(1 – x) untuk |x| < 1. (Anda sudah akrab dengan deret ini, kan?)

Secara umum, kita dapat menggunakan Uji Rasio atau Uji Akar untuk memperoleh x yang membuat suatu deret pangkat konvergen. Dengan Uji Rasio, deret konvergen jika

Jadi, jika

maka deret konvergen untuk |x| < R dan divergen untuk |x| > R. Sementara itu, dengan Uji Akar, kita akan mendapatkan jika

maka deret konvergen untuk |x| < R dan divergen untuk |x| > R.

Sebagai contoh, tinjau deret pangkat

Di sini a_n = 1/n, n = 1, 2, 3, … . Baik dengan Uji Rasio maupun Uji Akar (sila coba dua-duanya), kita peroleh R = 1, sehingga deret konvergen untuk |x| < 1 dan divergen untuk |x| > 1. Apa yang terjadi untuk |x| = 1? Ada 2 titik yang harus kita periksa. Untuk x = 1, kita peroleh deret harmonik ∑1/n yang divergen. Untuk x = -1, kita peroleh deret harmonik berganti tanda ∑(-1)ⁿ⁺¹/n yang konvergen. Jadi, deret pangkat di atas konvergen jika dan hanya jika -1 ≤ x < 1. Dalam hal ini, interval [-1,1) merupakan interval kekonvergenan deret pangkat tersebut.

*

Bandung, 27-06-2016