deret pangkat

Deret Maclaurin untuk cosh x dan sinh x

Tahun lalu, saya pernah menayangkan sepuluh deret pangkat istimewa, termasuk deret pangkat untuk ex, yakni

Nah, mengingat cosh x dan sinh x merupakan kombinasi sederhana dari ex dan e-x, kita dapat memperoleh deret pangkat untuk kedua fungsi trigonometri hiperbolik tersebut, yaitu

dan

Perhatikan bahwa cosh x + sinh x = ex, sesuai dengan definisi kedua fungsi trigonometri hiperbolik tersebut. Bandingkan kedua deret pangkat di atas dengan deret pangkat untuk cos x dan sin x. Apa persamaan dan perbedaannya?

*

Bandung, 27-10-2017

Advertisements

Jumlah Deret 1/n^2

Pada problem sebelumnya, Anda diminta membuktikan ketaksamaan terkait dengan jumlah deret 1 + 1/22 + 1/32 + … = π2/6. Fakta ini ‘dibuktikan’ oleh Leonhard Euler pada tahun 1734 dengan menggunakan hasil kali tak terhingga untuk sinc x:

jumlah-deret-1-per-n2-_-2

Berdasarkan hasil kali di atas, koefisien x2 dari sinc x adalah

jumlah-deret-1-per-n2-3

Tetapi kita juga mempunyai uraian deret Maclaurin untuk sinc x, yaitu

jumlah-deret-1-per-n2-4

Dalam uraian deret ini, koefisien x2 dari sinc x adalah -1/3! = -1/6. Jadi mestilah

jumlah-deret-1-per-n2-5

dan dari hubungan ini kita peroleh hasil yang diinginkan, yaitu

jumlah-deret-1-per-n2-1

*

Bandung, 24-02-2017

Deret Pangkat Istimewa

Sepuluh deret pangkat di bawah ini termasuk deret pangkat istimewa:

 Deret Pangkat Istimewa_I

Kesepuluh deret pangkat di atas merupakan deret Maclaurin dari masing-masing fungsi di sebelah kirinya. Perhatikan bahwa deret kedua dan ketiga dapat diperoleh dari deret pertama dengan mengganti x dengan –x atau –x2. Selanjutnya, deret keempat, kelima, dan keenam dapat diperoleh dari deret pertama, kedua, dan ketiga dengan operasi pengintegralan. Deret ketujuh hingga kesepuluh diperoleh melalui Teorema Taylor (sila buka tautannya bila penasaran).

Deret untuk arctan x, misalnya, dapat dipakai untuk menghitung nilai π, dengan mensubstitusikan nilai x = 1:

Deret Pangkat Istimewa_2

Nilai ln 2 dapat dihitung dengan menggunakan deret untuk ln(1 + x), dengan mensubstitusikan nilai x = 1:

nilai ln 2

Anda masih ingat kan deret harmonik berganti tanda di atas?

*

Bandung, 30-06-2016

Deret Pangkat

Setelah cukup akrab dengan deret bilangan, marilah kita tengok deret fungsi, khususnya deret fungsi pangkat, singkatnya deret pangkat, yaitu deret yang berbentuk

Deret Pangkat - 1

dengan x bilangan real. Diberikan suatu deret pangkat dengan koefisien an tertentu (diketahui), pertanyaan kita adalah: untuk x berapakah deret tersebut konvergen, dan konvergen ke mana?

Sebagai contoh, deret pangkat 1 + x + x2 + x3 + … konvergen ke 1/(1 – x) untuk |x| < 1. (Anda sudah akrab dengan deret ini, kan?)

Secara umum, kita dapat menggunakan Uji Rasio atau Uji Akar untuk memperoleh x yang membuat suatu deret pangkat konvergen. Dengan Uji Rasio, deret konvergen jika

deret pangkat - uji rasio

Jadi, jika

Deret Pangkat - 2

maka deret konvergen untuk |x| < R dan divergen untuk |x| > R. Sementara itu, dengan Uji Akar, kita akan mendapatkan jika

Deret Pangkat - 3

maka deret konvergen untuk |x| < R dan divergen untuk |x| > R.

Sebagai contoh, tinjau deret pangkat

Deret Pangkat - 4

Di sini an = 1/n, n = 1, 2, 3, … . Baik dengan Uji Rasio maupun Uji Akar (sila coba dua-duanya), kita peroleh R = 1, sehingga deret konvergen untuk |x| < 1 dan divergen untuk |x| > 1. Apa yang terjadi untuk |x| = 1? Ada 2 titik yang harus kita periksa. Untuk x = 1, kita peroleh deret harmonik ∑1/n yang divergen. Untuk x = -1, kita peroleh deret harmonik berganti tanda ∑(-1)n+1/n yang konvergen. Jadi, deret pangkat di atas konvergen jika dan hanya jika -1 ≤ x < 1. Dalam hal ini, interval [-1,1) merupakan interval kekonvergenan deret pangkat tersebut.

*

Bandung, 27-06-2016