cosh x

Sepeda Beroda Persegi

Pernahkah anda melihat sepeda beroda persegi? Bagaimana sepeda tersebut bergerak di atas jalan yang rata? Ia akan bergerak naik-turun, ya kan? Nah, bila kita menghendaki sepeda tersebut bergerak mendatar tidak naik-turun, maka jalannya harus dibuat khusus, seperti pada gambar di bawah ini.

sepeda beroda persegi - 0

[Sumber: http://mathtourist.blogspot.co.id]

Hmm.. dapatkah kita menemukan persamaan kurva untuk sepeda beroda persegi tersebut?

sepeda beroda persegi - 2

Fungsinya jelas merupakan fungsi periodik. Karena itu, kita cukup meninjau satu penggal kurva tersebut.

sepeda beroda persegi - 3

Dengan asumsi bahwa panjang sisi roda sama dengan 2, kita harus mencari nilai y sebagai fungsi dari x. Jika x = 0, maka y = 1. Nah, ketika roda bergerak ke kanan (x > 0), nilai y membesar. Perhatikan gambar di sebelah kanan yang telah diperbesar. Sisi roda yang bersentuhan dengan jalan merupakan garis singgung pada kurva di titik x. Gradien garis singgung di titik tersebut sama dengan nilai tan t, yang juga sama dengan turunan dari y terhadap x. Jadi

sepeda beroda persegi - 4

Integralkan kedua ruas persamaan terakhir, kita peroleh

cosh-1 y = x + C.

Tetapi y = 1 ketika x = 0, sehingga C = 0. Jadi cosh-1 y = x atau y = cosh x.

A-ha, jadi penggalan kurva tersebut merupakan penggalan kurva cosinus hiperbolik yang telah kita bahas sebelumnya!

*

Bandung, 03-11-2017

Advertisements

Fungsi Trigonometri Hiperbolik – II

Seperti halnya kita mendefinisikan fungsi trigonometri tan x, cot x, sec x, dan csc x dari sin x dan cos x, kita juga dapat mendefinisikan fungsi trigonometri hiperbolik tanh x, coth x, sech x, dan csch x dari sinh x dan cosh x, sebagai berikut:

Kemudian, dengan membatasi daerah definisinya bila diperlukan, kita dapat mendefinisikan pula invers fungsi trigonometri hiperbolik. Sebagai contoh,

Nah, dari cosh y = ½(ey + e-y) = x, kita peroleh ey + e-y = 2x, dan akhirnya

Kemudian, dari rumus terakhir kita peroleh turunan dari y = cosh-1 x, yaitu

[Turunan dari y = cosh-1 x dapat pula diperoleh dari x = cosh y dengan Aturan Rantai dan kesamaan cosh2 x – sinh2 x = 1. Sila coba!]

Dalam artikel yang akan datang, saya akan memberikan contoh aplikasi menarik dari fungsi trginometri hiperbolik.

*

Bandung, 31-10-2017

Deret Maclaurin untuk cosh x dan sinh x

Tahun lalu, saya pernah menayangkan sepuluh deret pangkat istimewa, termasuk deret pangkat untuk ex, yakni

Nah, mengingat cosh x dan sinh x merupakan kombinasi sederhana dari ex dan e-x, kita dapat memperoleh deret pangkat untuk kedua fungsi trigonometri hiperbolik tersebut, yaitu

dan

Perhatikan bahwa cosh x + sinh x = ex, sesuai dengan definisi kedua fungsi trigonometri hiperbolik tersebut. Bandingkan kedua deret pangkat di atas dengan deret pangkat untuk cos x dan sin x. Apa persamaan dan perbedaannya?

*

Bandung, 27-10-2017

Fungsi Trigonometri Hiperbolik – I

Fungsi y = ex mempunyai turunan sama dengan dirinya sendiri, yakni ’ = y.  Dengan Aturan Rantai, fungsi y = ex mempunyai turunan ’ = –y. Nah, sekarang tinjau dua fungsi berikut:

y = ½ (ex + ex) = c(x)

dan

y = ½ (ex – ex) = s(x).

Faktor ½ sengaja ditambahkan secara khusus agar c(0) = 1. Lalu apa yang menarik dengan kedua fungsi ini?

Yang menarik adalah bahwa ’(x) = s(x) dan ’(x) = c(x). Fakta ini mirip dengan fakta tentang fungsi cos x dan sin x. (Bedanya, turunan dari cos x adalah –sin x). Selain itu, kita dapat memeriksa bahwa c(x)2s(x)2 = 1. Ini mirip dengan cos2 x + sin2 x = 1. Kemiripan lainnya: c(x) merupakan fungsi genap [c(-x) = c(x)] dan s(x) merupakan fungsi ganjil [yakni s(-x) = –s(x)].

Karena kemiripannya dengan fungsi cosinus dan sinus, kedua fungsi di atas dinamai fungsi cosinus hiperbolik dan sinus hiperbolik, dan dilambangkan dengan cosh x dan sinh x.

Bila (cos t, sin t) merupakan suatu titik pada lingkaran berjari-jari 1 yang berpusat di titik (0, 0), maka (cosh t, sinh t) merupakan suatu titik pada bagian hiperbola u2v2 = 1 yang berada di sebelah kanan sumbu vertikal (u > 0). Istilah ‘hiperbolik’ muncul semata-mata karena alasan ini. Berbeda dengan cos x dan sin x, baik cosh x maupun sinh x bukan fungsi periodik.

O ya, fungsi trigonometri hiperbolik diperkenalkan pada tahun 1760-an oleh Vincenzo Riccati (1707-1775) dan oleh Johann Heinrich Lambert (1728-1777). Notasi yang kita pakai sekarang adalah notasi yang diusulkan oleh Lambert.

*

Bandung, 24-10-2017