lingkaran

Fungsi Trigonometri Hiperbolik – I

Fungsi y = ex mempunyai turunan sama dengan dirinya sendiri, yakni ’ = y.  Dengan Aturan Rantai, fungsi y = ex mempunyai turunan ’ = –y. Nah, sekarang tinjau dua fungsi berikut:

y = ½ (ex + ex) = c(x)

dan

y = ½ (ex – ex) = s(x).

Faktor ½ sengaja ditambahkan secara khusus agar c(0) = 1. Lalu apa yang menarik dengan kedua fungsi ini?

Yang menarik adalah bahwa ’(x) = s(x) dan ’(x) = c(x). Fakta ini mirip dengan fakta tentang fungsi cos x dan sin x. (Bedanya, turunan dari cos x adalah –sin x). Selain itu, kita dapat memeriksa bahwa c(x)2s(x)2 = 1. Ini mirip dengan cos2 x + sin2 x = 1. Kemiripan lainnya: c(x) merupakan fungsi genap [c(-x) = c(x)] dan s(x) merupakan fungsi ganjil [yakni s(-x) = –s(x)].

Karena kemiripannya dengan fungsi cosinus dan sinus, kedua fungsi di atas dinamai fungsi cosinus hiperbolik dan sinus hiperbolik, dan dilambangkan dengan cosh x dan sinh x.

Bila (cos t, sin t) merupakan suatu titik pada lingkaran berjari-jari 1 yang berpusat di titik (0, 0), maka (cosh t, sinh t) merupakan suatu titik pada bagian hiperbola u2v2 = 1 yang berada di sebelah kanan sumbu vertikal (u > 0). Istilah ‘hiperbolik’ muncul semata-mata karena alasan ini. Berbeda dengan cos x dan sin x, baik cosh x maupun sinh x bukan fungsi periodik.

O ya, fungsi trigonometri hiperbolik diperkenalkan pada tahun 1760-an oleh Vincenzo Riccati (1707-1775) dan oleh Johann Heinrich Lambert (1728-1777). Notasi yang kita pakai sekarang adalah notasi yang diusulkan oleh Lambert.

*

Bandung, 24-10-2017

Advertisements

Garis Singgung pada Lingkaran

Kita telah mengetahui bahwa garis singgung pada lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jarinya. Fakta ini telah dibuktikan dengan cantik oleh Euclid dalam buku Elements, Jilid III, sebagai berikut.

Misalkan O adalah titik pusat lingkaran dan r adalah jari-jari lingkaran, dan andaikan terdapat garis singgung pada lingkaran, katakanlah di titik X, yang tidak tegak lurus terhadap jari-jarinya. Pilih titik P pada garis singgung sedemikian sehingga OP tegak lurus terhadap garis singgung tersebut.

garis-singgung-lingkaran

Dalam hal ini, P merupakan titik pada garis singgung yang terdekat dari O. Khususnya, |OP| < |OX| = r. Tetapi ini mustahil, karena P berada di luar lingkaran! Jadi setiap garis singgung pada lingkaran mestilah tegak lurus pada jari-jarinya.

*

Bandung, 28-11-2016

Lingkaran-Lingkaran Kecil

Sebagai kelanjutan dari “Lingkaran Besar Lingkaran Kecil“, saya menggambar lingkaran-lingkaran kecil dari pojok kiri atas ke kanan, ad infinitum, seperti diperlihatkan pada gambar di bawah ini:

lingkaran2kecil

Bila jari-jari lingkaran besar sama dengan 1, maka jari-jari lingkaran kecil pertama (yang terletak di pojok kiri atas) sama dengan 3 – 2√2. Selanjutnya, ketika saya dan anak saya yang masih duduk di kelas XI (oh ya, anak saya menyukai matematika seperti ayahnya) berusaha menghitung jari-jari lingkaran-lingkaran kecil di sebelah kanannya, kami menemukan suatu rumus rekursif yang mengaitkan jari-jari lingkaran ke-(n+1) dengan jari-jari lingkaran ke-n. Dengan rumus rekursif tersebut, jari-jari setiap lingkaran kecil itu dapat diperoleh.

Nah, dapatkah Anda juga menemukan rumus rekursif tersebut?

*

Bandung, 20-04-2016

Persegi Terkecil

Persegi terkecil yang memuat lingkaran berjari-jari R adalah persegi dengan panjang sisi 2R. Nah, berapakah panjang sisi terkecil yang memuat segitiga sama sisi dengan panjang sisi 1? Alas persegi tersebut akan membentuk sudut 15° dengan alas segitiga (lihat gambar). Jadi, panjang sisi persegi ini adalah s = cos 15°. Panjang sisi persegi tersebut dapat pula dihitung dengan cara menyelesaikan dua persamaan yang diperoleh dari Dalil Pythagoras: 2(sa)² = 1 dan s² + a² = 1 (dengan a menyatakan tinggi segitiga siku-siku di bawah segitiga sama sisi).

persegiterkecil

Dari kedua persamaan tersebut, kita peroleh s = ¼(√2 + √6).

Selanjutnya, ini yang lebih seru, hitunglah panjang sisi persegi terkecil yang memuat:

(1) segi lima beraturan dengan panjang sisi 1.

(2) persegi panjang dengan panjang p dan lebar l, dengan p > l. (Ada dua kasus!)

(3) elips dengan panjang sumbu mayor a dan sumbu minor b, dengan a > b.

Michael Gilbert bisa menjawab ketiga soal di atas. Bagaimana dengan Anda?

*

Bandung, 12-04-2016