Masalah Isoperimetrik

Di antara bangun datar yang mempunyai keliling yang sama, bangun apakah yang mempunyai luas terbesar? Masalah ini dikenal sebagai masalah isoperimetrik. Orang Yunani Kuno telah mengetahui bahwa solusi masalah ini adalah cakram lingkaran. Namun, bagaimana mereka bisa sampai pada kesimpulan tersebut?

Argumentasinya kira-kira sebagai berikut. Perhatikan bahwa luas persegi dengan keliling K sama dengan luas segitiga dengan alas K dan tinggi t= setengah panjang sisi persegi.

(Ingat bahwa di antara persegi panjang yang memiliki keliling yang sama, persegi mempunyai luas yang paling besar.)

Bila kita sekarang kita tinjau segi enam beraturan yang memiliki keliling K, maka luasnya sama dengan luas segitiga dengan alas K dan tinggi t6.

Dengan pengetahuan geometri sederhana, kita dapat melihat bahwa t6 > t4. Jadi segi enam beraturan dengan keliling K memiliki luas yang lebih besar daripada persegi dengan keliling K juga.

Nah, secara umum, bila kita bandingkan segi m beraturan dan segi n beraturan (dengan m < n) yang memiliki keliling yang sama, maka segi n beraturan akan memiliki luas yang lebih besar.

Dengan alasan itulah orang Yunani Kuno menyimpulkan bahwa bangun datar yang memiliki luas terbesar dengan keliling K tertentu mestilah cakram lingkaran.

Argumen di atas tentu bukan merupakan bukti yang rigor (ketat). Bukti rigor bahwa cakram lingkaran adalah solusi masalah isoperimetrik diberikan oleh Jakob Steiner pada tahun 1838 dan Adolf Hurwitz pada tahun 1902. Bukti Hurwitz sudah dikupas oleh Nursatria Vidya Adikrisna di sini.

*

Bandung, 14-07-2018

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

w

Connecting to %s