deret Maclaurin

Deret Maclaurin untuk cosh x dan sinh x

Tahun lalu, saya pernah menayangkan sepuluh deret pangkat istimewa, termasuk deret pangkat untuk ex, yakni

Nah, mengingat cosh x dan sinh x merupakan kombinasi sederhana dari ex dan e-x, kita dapat memperoleh deret pangkat untuk kedua fungsi trigonometri hiperbolik tersebut, yaitu

dan

Perhatikan bahwa cosh x + sinh x = ex, sesuai dengan definisi kedua fungsi trigonometri hiperbolik tersebut. Bandingkan kedua deret pangkat di atas dengan deret pangkat untuk cos x dan sin x. Apa persamaan dan perbedaannya?

*

Bandung, 27-10-2017

Advertisements

Jumlah Deret 1/n^2

Pada problem sebelumnya, Anda diminta membuktikan ketaksamaan terkait dengan jumlah deret 1 + 1/22 + 1/32 + … = π2/6. Fakta ini ‘dibuktikan’ oleh Leonhard Euler pada tahun 1734 dengan menggunakan hasil kali tak terhingga untuk sinc x:

jumlah-deret-1-per-n2-_-2

Berdasarkan hasil kali di atas, koefisien x2 dari sinc x adalah

jumlah-deret-1-per-n2-3

Tetapi kita juga mempunyai uraian deret Maclaurin untuk sinc x, yaitu

jumlah-deret-1-per-n2-4

Dalam uraian deret ini, koefisien x2 dari sinc x adalah -1/3! = -1/6. Jadi mestilah

jumlah-deret-1-per-n2-5

dan dari hubungan ini kita peroleh hasil yang diinginkan, yaitu

jumlah-deret-1-per-n2-1

*

Bandung, 24-02-2017

Deret Kebalikan Bilangan Prima

Misalkan p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, p5 = 11, … adalah bilangan-bilangan prima yang terurut (membesar). Untuk setiap bilangan asli N, kita mempunyai

Deret Kebalikan Bilangan Prima_1

dengan SN adalah himpunan semua bilangan asli yang habis dibagi oleh p1, p2, …, atau pN, tetapi tidak habis dibagi oleh pi, i > N. Karena hasil kali di ruas kiri terhingga, jumlah di ruas kanan pun terhingga. Namun, semakin besar bilangan N, semakin besar himpunan SN dan sehubungan dengan itu semakin besar pula jumlah di ruas kanan. Karena deret harmonik 1 + ½ + ⅓ + ¼ + … divergen, jumlah di ruas kanan membesar ‘tak terbatas’ seiring dengan semakin besarnya N. Jadi hasil kali di ruas kiri pun membesar tak terbatas seiring dengan semakin besarnya N.

Nah, dengan bantuan fakta di atas, Leonhard Euler (1707-1783) membuktikan bahwa deret kebalikan bilangan prima, yaitu

Deret Kebalikan Bilangan Prima_2

merupakan deret yang divergen. Buktinya adalah sebagai berikut. Untuk setiap bilangan asli N, ambil nilai logaritma natural dari kedua ruas kesamaan di atas, dan gunakan sifat logaritma serta uraian deret Maclaurin untuk -ln(1 – x):

Deret Kebalikan Bilangan Prima_3

Andaikan deret kebalikan bilangan prima konvergen, maka deret di ruas kanan konvergen — karena deret jumlah suku-suku lainnya konvergen:

Deret Kebalikan Bilangan Prima-4

Akibatnya himpunan bilangan logaritma di ruas kiri ‘terbatas’. Tetapi ini mustahil, karena hasil kali

Deret Kebalikan Bilangan Prima_5

membesar tak terbatas seiring dengan semakin besarnya N. Karena itu kita simpulkan bahwa deret kebalikan bilangan prima mestilah divergen.

*

Bandung, 14-07-2016

Menghitung ln 3 sebagai Deret

Kita tidak dapat menghitung nilai ln 3 dengan menggunakan deret Maclaurin untuk ln(1 − x) ATAU ln(1 + x) karena kedua deret tersebut hanya berlaku untuk -1 < x < 1 (dengan salah satu titik ujungnya). Namun, kita dapat menghitung ln 3 dengan menggunakan deret untuk ln(1 − x) DAN ln(1 + x). Bagaimanakah caranya?

Deret untuk LN

Catatan. Bahkan, dengan deret untuk ln(1 − x) DAN ln(1 + x), kita dapat pula menghitung nilai ln x untuk sembarang x > 0.

*

Bandung, 11-07-2016

Deret Pangkat Istimewa

Sepuluh deret pangkat di bawah ini termasuk deret pangkat istimewa:

 Deret Pangkat Istimewa_I

Kesepuluh deret pangkat di atas merupakan deret Maclaurin dari masing-masing fungsi di sebelah kirinya. Perhatikan bahwa deret kedua dan ketiga dapat diperoleh dari deret pertama dengan mengganti x dengan –x atau –x2. Selanjutnya, deret keempat, kelima, dan keenam dapat diperoleh dari deret pertama, kedua, dan ketiga dengan operasi pengintegralan. Deret ketujuh hingga kesepuluh diperoleh melalui Teorema Taylor (sila buka tautannya bila penasaran).

Deret untuk arctan x, misalnya, dapat dipakai untuk menghitung nilai π, dengan mensubstitusikan nilai x = 1:

Deret Pangkat Istimewa_2

Nilai ln 2 dapat dihitung dengan menggunakan deret untuk ln(1 + x), dengan mensubstitusikan nilai x = 1:

nilai ln 2

Anda masih ingat kan deret harmonik berganti tanda di atas?

*

Bandung, 30-06-2016