Bilangan Kompleks dalam Bentuk Polar

Bilangan kompleks z:=a+bi dapat dinyatakan dalam bentuk polar

z:=re^{i\theta}=r(\cos \theta + i\sin \theta),

dengan r=\sqrt{a^2+b^2} dan \theta=\arctan \frac{b}{a} (bila a\not=0). Bentuk ini dikenal sebagai rumus Euler untuk bilangan kompleks.

Nah, bila Anda ingat deret Maclaurin untuk fungsi trigonometri, khususnya

\cos \theta=1 - \frac{1}{2!}\theta^2 + \frac{1}{4!}\theta^4 - \cdots + \frac{(-1)^n}{(2n)!}\theta^{2n}+\cdots,

\sin \theta=\theta-\frac{1}{3!}\theta^3+\frac{1}{5!}\theta^5-\cdots+\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\theta^{2n+1}+\cdots,

dan deret Maclaurin untuk e^{i\theta}, yaitu

e^{i\theta}=1+i\theta+\frac{1}{2!}(i\theta)^2+\frac{1}{3!}(i\theta)^3+\cdots+\frac{1}{k!}(i\theta)^k+\cdots,

maka rumus Euler di atas jelas berlaku, mengingat

i^k=\left\{\begin{array}{ll} 1,&\quad k=4n,\\i,&\quad k=4n+1,\\-1,&\quad k=4n+2,\\-i,&\quad k=4n+3 \end{array}\right.

Bilangan kompleks dan, lebih seru lagi, fungsi kompleks, merupakan subjek matematika yang menarik sekaligus menantang. Nanti saya akan cerita lebih banyak tentang fungsi kompleks ya.

*

Bandung, 26-05-2020

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s