Akar 1

Hendra Gunawan

Di \mathbb{R}, akar 1 (yakni, bilangan real x yang memenuhi persamaan x^2=1) ada dua, yaitu 1 dan -1. Akar utama dari 1 disepakati sama dengan 1, dan dituliskan sebagai \sqrt{1}. Jadi, \sqrt{1}=1.

Yang dimaksud dengan akar dalam hal ini adalah akar kuadrat atau akar ke-2. Secara umum, akar ke-n dari 1 adalah bilangan real x yang memenuhi persamaan x^n=1. Sebagai contoh, akar ke-3 (dari) 1 adalah 1; akar ke-4 (dari) 1 adalah 1 dan -1; dan seterusnya.

Di \mathbb{C}, akar 1 ada dua juga, yaitu 1 dan -1. Namun, akar ke-3 (dari) 1 ada tiga, yaitu 1,\ -\frac12+\frac12\sqrt{3}i, dan -\frac12-\frac12\sqrt{3}i. Sila cek bahwa pangkat ke-3 dari bilangan-bilangan ini sama dengan 1.

Nah, secara umum, akar ke-n (dari) 1 ada n buah. Bagaimana mencarinya? Dengan rumus Euler, persamaan z^n=1 setara dengan r^ne^{in\theta}=1. Dari persamaan ini, kita peroleh r=1 dan \theta=\frac{2k\pi}{n},\ k=0,\dots,n-1. (Catat bahwa e^{2i\pi}=e^0=1.)

Sebagai ilustrasi, di bawah ini adalah plot lima buah akar ke-5 (dari) 1 pada bidang kompleks.

Akar ke-5 (dari) 1 [Sumber gambar: Wikipedia]

Apakah Anda melihat pola spesial yang dimiliki akar-akar ke-n (dari) 1?

*

Bandung, 01-06-2020

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s