Akar -1

Dalam sistem bilangan kompleks, akar -1 adalah bilangan kompleks z yang memenuhi persamaan z^2=-1, yaitu \pm i. Bilangan i dalam hal ini merupakan akar utama (dari) -1 dan kita menuliskan i:=\sqrt{-1}.

Nah, bilangan imajiner ini gaib, tetapi membantu kita melihat hal yang tadinya tidak terlihat bila kita hanya bekerja dengan bilangan real.

Sebagai contoh, deret geometri

1+x+x^2+x^3+\cdots konvergen ke \frac{1}{1-x} untuk -1<x<1.

Jari-jari kekonvergenan deret ini sama dengan 1. Kita bisa melihat itu, karena f(x):=\frac{1}{1-x} tidak terdefinisi di x=1 dan tidak terbatas nilainya di sekitar x=1. Jadi, jari-jari kekonvergenan deret geometri di atas memang tidak mungkin lebih besar daripada 1.

Namun, kita juga mengetahui bahwa deret pangkat

1-x^2+x^4-x^6+\cdots konvergen ke \frac{1}{1+x^2} untuk -1<x<1.

Mengapa jari-jari kekonvergenan deret ini tidak bisa lebih besar daripada 1? Bukankah fungsi g(x):=\frac{1}{1+x^2} terdefinisi untuk seluruh x\in\mathbb{R}?

Nah, bila kita melihatnya dalam sistem bilangan kompleks, fungsi g(x):=\frac{1}{1+x^2} tidak terdefinisi untuk x=\pm i, dan jarak bilangan \pm i dari titik pusat O adalah 1. Jadi, jari-jari kekonvergenan deret di atas tidak bisa lebih besar daripada 1.

*

Bandung, 06-06-2020

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s