Deret Kebalikan Bilangan Prima

Misalkan p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, p5 = 11, … adalah bilangan-bilangan prima yang terurut (membesar). Untuk setiap bilangan asli N, kita mempunyai

Deret Kebalikan Bilangan Prima_1

dengan SN adalah himpunan semua bilangan asli yang habis dibagi oleh p1, p2, …, atau pN, tetapi tidak habis dibagi oleh pi, i > N. Karena hasil kali di ruas kiri terhingga, jumlah di ruas kanan pun terhingga. Namun, semakin besar bilangan N, semakin besar himpunan SN dan sehubungan dengan itu semakin besar pula jumlah di ruas kanan. Karena deret harmonik 1 + ½ + ⅓ + ¼ + … divergen, jumlah di ruas kanan membesar ‘tak terbatas’ seiring dengan semakin besarnya N. Jadi hasil kali di ruas kiri pun membesar tak terbatas seiring dengan semakin besarnya N.

Nah, dengan bantuan fakta di atas, Leonhard Euler (1707-1783) membuktikan bahwa deret kebalikan bilangan prima, yaitu

Deret Kebalikan Bilangan Prima_2

merupakan deret yang divergen. Buktinya adalah sebagai berikut. Untuk setiap bilangan asli N, ambil nilai logaritma natural dari kedua ruas kesamaan di atas, dan gunakan sifat logaritma serta uraian deret Maclaurin untuk -ln(1 – x):

Deret Kebalikan Bilangan Prima_3

Andaikan deret kebalikan bilangan prima konvergen, maka deret di ruas kanan konvergen — karena deret jumlah suku-suku lainnya konvergen:

Deret Kebalikan Bilangan Prima-4

Akibatnya himpunan bilangan logaritma di ruas kiri ‘terbatas’. Tetapi ini mustahil, karena hasil kali

Deret Kebalikan Bilangan Prima_5

membesar tak terbatas seiring dengan semakin besarnya N. Karena itu kita simpulkan bahwa deret kebalikan bilangan prima mestilah divergen.

*

Bandung, 14-07-2016

Advertisements

One comment

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s