Uji Akar untuk Kekonvergenan Deret

Selain menggunakan Uji Banding dan Uji Rasio, kekonvergenan suatu deret bilangan real a1 + a2 + a3 + … dapat pula diselidiki dengan menggunakan Uji Akar. Persisnya, misalkan |an|1/n menuju L ketika n menuju tak terhingga. (Dalam deret geometri a + ar + ar2 + ar3 + …, dengan a ≠ 0 dan r ≠ 0, kita mempunyai |an|1/n = |arn-1|1/n menuju |r| ketika n menuju tak terhingga.) Uji Akar menyatakan jika L < 1, maka deret konvergen; tetapi jika L > 1, maka deret divergen. Alasannya, jika |an|1/n menuju L ketika n menuju tak terhingga, maka untuk n yang cukup besar, an menyerupai deret geometri dengan rasio kira-kira sama dengan L.

Sebagai contoh, tinjau deret 1/2 + 2/22 + 1/23 + 2/24 + … + bn/2n + … dengan bn = 1 untuk n ganjil dan bn = 2 untuk n genap. Bila kita gunakan Uji Rasio, kita peroleh rn = 1 untuk n ganjil dan rn = ¼ untuk n genap. Jadi Uji Rasio gagal. Namun, dengan Uji Akar, |an|1/n = ½·|bn|1/n menuju ½ ketika n menuju tak terhingga (karena |bn|1/n menuju 1 ketika n menuju tak terhingga, baik untuk n ganjil maupun genap). Jadi, deret tersebut konvergen.

Seperti yang terjadi dengan Uji Rasio, ketika L = 1, Uji Akar tidak memberikan kesimpulan apa-apa.

*

Bandung, 13-06-2016

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s