Uji Akar untuk Kekonvergenan Deret

Selain menggunakan Uji Banding dan Uji Rasio, kekonvergenan suatu deret bilangan real a₁ + a₂ + a₃ + … dapat pula diselidiki dengan menggunakan Uji Akar. Persisnya, misalkan |a_n|^1/n menuju L ketika n menuju tak terhingga. (Dalam deret geometri a + ar + ar² + ar³ + …, dengan a ≠ 0 dan r ≠ 0, kita mempunyai |a_n|^1/n = |ar^n-1|^1/n menuju |r| ketika n menuju tak terhingga.) Uji Akar menyatakan jika L < 1, maka deret konvergen; tetapi jika L > 1, maka deret divergen. Alasannya, jika |a_n|^1/n menuju L ketika n menuju tak terhingga, maka untuk n yang cukup besar, a_n menyerupai deret geometri dengan rasio kira-kira sama dengan L.

Sebagai contoh, tinjau deret 1/2 + 2/2² + 1/2³ + 2/2⁴ + … + b_n/2ⁿ + … dengan b_n = 1 untuk n ganjil dan b_n = 2 untuk n genap. Bila kita gunakan Uji Rasio, kita peroleh r_n = 1 untuk n ganjil dan r_n = ¼ untuk n genap. Jadi Uji Rasio gagal. Namun, dengan Uji Akar, |a_n|^1/n = ½·|b_n|^1/n menuju ½ ketika n menuju tak terhingga (karena |b_n|^1/n menuju 1 ketika n menuju tak terhingga, baik untuk n ganjil maupun genap). Jadi, deret tersebut konvergen.

Seperti yang terjadi dengan Uji Rasio, ketika L = 1, Uji Akar tidak memberikan kesimpulan apa-apa.

*

Bandung, 13-06-2016