limit

Turunan dan Kekontinuan – I

Bila Anda sudah ‘mencicipi’ Kalkulus, tentunya Anda sudah mengetahui apa yang dimaksud dengan turunan dari suatu fungsi, serta riwayatnya – yang terkait dengan upaya Newton menentukan kecepatan sesaat dari suatu partikel yang bergerak dan upaya Leibniz menentukan gradien garis singgung pada suatu kurva di suatu titik.

Diberikan sebuah fungsi f : I → R, dengan I ⊆ R suatu interval yang memuat titik c, turunan dari f di titik c didefinisikan sebagai

definisi turunan

asalkan limit ini ada. Perhatikan jika f mempunyai turunan di c, maka

turunan dan kekontinuan

dan karena itu

limit fungsi kontinu

yang berarti bahwa f kontinu di c. Jadi, kekontinuan f di c merupakan syarat perlu bagi eksistensi turunan f di c. Tetapi, ada banyak contoh yang memperlihatkan bahwa kekontinuan f di c bukanlah merupakan syarat cukup bagi eksistensi turunan f di c.

Salah satu contoh penyangkalnya adalah f(x) = |x|. Fungsi ini kontinu di 0, tetapi tidak mempunyai turunan di 0 karena

turunan nilai mutlak di 0

tidak ada (limit kirinya sama dengan -1, sedangkan limit kanannya sama dengan 1).

Terkait dengan eksistensi limit, kita mengetahui ada beberapa hal yang dapat menyebabkan limit suatu fungsi di suatu titik tidak ada. Penyebab pertama adalah limit kiri dan limit kanannya ada tetapi tidak sama. Penyebab kedua adalah limit kiri atau limit kanannya tidak ada, entah karena ‘menuju tak terhingga’ atau ‘berosilasi’.

Problem: Temukan fungsi f yang kontinu di suatu titik c tetapi tidak mempunyai turunan di titik itu karena limit kiri dan/atau limit kanan dari [f(x) – f(c)]/(x – c) tidak ada, khususnya karena (a) limit kiri dan/atau limit kanannya ‘menuju tak terhingga’ dan (b) limit kiri dan/atau limit kanannya ‘berosilasi’.

*

Bandung, 11-07-2017

Titik Ekstrim Lokal dan Titik Stasioner

Misalkan f mempunyai turunan pada interval (a, b) dan c ∈ (a, b). Jika f mencapai nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal di c, maka f‘(c) = 0.

Fakta ini dapat dibuktikan melalui kontraposisinya: Jika f’(c) ≠ 0, maka f tidak akan mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c.

Buktinya adalah sebagai berikut. Menurut definisi turunan,

turunan di c

Nah, misalkan f‘(c) > 0. Maka, menurut definisi limit, terdapat suatu δ > 0 sedemikian sehingga

turunan positif

untuk x ∈ (c − δ, c + δ), x ≠ c.

Sekarang perhatikan bahwa untuk x ∈ (c, c + δ), kita mempunyai x – c > 0 dan ketaksamaan di atas memberikan f(x) – f(c) > 0 atau f(x) > f(c). Jadi f tidak mungkin mencapai nilai maksimum lokal di c. Selanjutnya untuk x ∈ (c – δ, c), kita mempunyai x – c < 0 dan ketaksamaan memberikan f(x) – f(c) < 0 atau f(x) < f(c). Jadi f juga tidak mungkin mencapai nilai minimum lokal di c.

Hal serupa terjadi ketika f‘(c) < 0. Jadi, jika f‘(c) ≠ 0, maka f tidak akan mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c.

Catatan. Kebalikan dari fakta di atas tidak berlaku: Jika f‘(c) = 0, tidak ada jaminan f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c. Sebagai contoh, f(x) =x3 mempunyai turunan 0 di c = 0, yakni f’(0) = 0, tetapi f tidak mencapai nilai maksimum ataupun minimum di c = 0. Titik maksimum atau minimum lokal disebut sebagai titik ekstrim lokal, sedangkan titik dengan turunan 0 disebut titik stasioner. Jika f‘(c) ada dan c merupakan titik ekstrim lokal, maka c haruslah merupakan titik stasioner. Tetapi jika c merupakan titik stasioner, c belum tentu merupakan titik esktrim lokal.

*

Bandung, 05-05-2017

Fungsi Sinc 1/x

Terkait dengan fungsi sinc x, ada fungsi sinc (1/x) = x·sin (1/x) yang mempunyai perilaku menarik di sekitar x = 0. Untuk membuatnya kontinu di 0, kita definisikan

x-sin-1perx

Nah, di bawah ini adalah grafik fungsinya untuk (a) -2 ≤ x ≤ 2, (b) -0.5 ≤ x ≤ 0.5, dan (c) -0.125 ≤ x ≤ 0.125.

 

x-sin-1-per-x-bx-sin-1-per-x-a

x-sin-1-per-x-o

 

Kekontinuan f di 0 tentu saja dibuktikan dengan Prinsip Apit. Selain itu, catat bahwa f(x) menuju 1 ketika |x| menuju ∞.

Anggapan umum bahwa grafik fungsi f yang kontinu pada [a, b] dapat digambar ‘tanpa mengangkat pena’ dari titik (a, f(a)) ke titik (b, f(b)) tidak berlaku untuk fungsi f di atas. Bahkan bila kita diminta menggambar grafiknya ‘dengan tangan’ pada interval [0, 0.5] mulai dari titik (0, 0), kita tidak tahu apakah pena harus kita gerakkan ke atas, ke bawah, atau mendatar ke kanan, karena f tidak mempunyai turunan di 0.

Selain itu, panjang kurva y = f(x) dari (0, 0) ke (0.5, f(0.5)) juga tak terhingga — jadi kalau kita menggambar grafiknya dari kanan ke kiri, maka tangan kita akan pegal dan tidak akan pernah sampai di (0, 0). Grafik yang diperoleh dengan program komputer seperti di atas hanyalah merupakan hampiran.

*

Bandung, 10-02-2017

Limit Fungsi Sinc x dan Prinsip Apit

Fungsi f(x) = sinc x kontinu di 0 karena ketika x menuju 0, sinc x menuju f(0), yaitu 1. Fakta ini diperoleh dengan bantuan Prinsip Apit, mengingat cos x ≤ sinc x ≤ 1 untuk x di sekitar 0 (lihat gambar), dan cos x menuju 1 bila x menuju 0.

limit-sinc-0

O ya, Prinsip Apit menyatakan jika suatu fungsi diapit oleh dua fungsi lain, dan kedua fungsi pengapitnya memiliki limit yang sama di suatu titik, maka fungsi yang diapit tadi akan memiliki limit yang sama di titik tersebut.

Persisnya, misalkan f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk x di sekitar c. Prinsip Apit berbunyi:

prinsip-apit

Nah, pada kasus di atas, f(x) = cos x, g(x) = sinc x, dan h(x) = 1, dengan c = 0 dan L = 1.

Dengan Prinsip Apit pula, kita dapat membuktikan bahwa sinc x menuju 0 bila x menuju tak terhingga, mengingat untuk setiap x > 0 kita mempunyai

sinc-x-terapit

dan 1/x menuju 0 bila x menuju tak terhingga. (Serupa dengan itu, sinc x menuju 0 bila x menuju minus tak terhingga.)

Jadi, dengan Prinsip Apit, kita telah membuktikan

limit-fungsi-sinc

Pengetahuan tentang limit sinc x di 0 dipakai antara lain untuk membuktikan bahwa turunan dari sin x adalah cos x.

*

Bandung, 07-02-2017

Panjang Kurva

Misalkan r adalah bilangan real positif dan Lr menyatakan panjang kurva |x|r + |y|r = 1. Buktikan bahwa limit Lr untuk r menuju tak terhingga sama dengan limit Lr untuk r menuju 0.

Catatan. Problem ini muncul dalam Mathematical Analysis & Geometry Day (MaG-D) IX, yang diselenggarakan di ITB pada tanggal 23 April 2016, dan diikuti oleh 164 mahasiswa dari berbagai perguruan tinggi di Indonesia (yang terjauh dari Universitas Sumatera Utara, Medan).

Terkait dengan problem ini, buktikan bahwa:

1. jika r < s, maka (|x|r + |y|r)1/r > (|x|s + |y|s)1/s.

2. jika r menuju tak terhingga, maka (|x|r + |y|r)1/r menuju maks{|x|, |y|}, nilai terbesar di antara |x| dan |y|.

*

Bandung, 27-04-2016