Panjang Kurva

Misalkan r adalah bilangan real positif dan Lr menyatakan panjang kurva |x|r + |y|r = 1. Buktikan bahwa limit Lr untuk r menuju tak terhingga sama dengan limit Lr untuk r menuju 0.

Catatan. Problem ini muncul dalam Mathematical Analysis & Geometry Day (MaG-D) IX, yang diselenggarakan di ITB pada tanggal 23 April 2016, dan diikuti oleh 164 mahasiswa dari berbagai perguruan tinggi di Indonesia (yang terjauh dari Universitas Sumatera Utara, Medan).

Terkait dengan problem ini, buktikan bahwa:

1. jika r < s, maka (|x|r + |y|r)1/r > (|x|s + |y|s)1/s.

2. jika r menuju tak terhingga, maka (|x|r + |y|r)1/r menuju maks{|x|, |y|}, nilai terbesar di antara |x| dan |y|.

*

Bandung, 27-04-2016

Advertisements

2 comments

  1. 1. Karena $r/s<1$, maka
    $$(|x|^s+|y|^s)^{r/s} \le (|x|^s)^{r/s}+(|x|^s)^{r/s}=|x|^r+|y|^r$$

    2. Misalkan $a=\max(|x|,|y|)$, maka
    $$ a\le (|x|^r+|y|^r)^{1/r} \le 2^{1/r} a.$$
    Dengan prinsip apit dan $\lim_{r\to \infty} 2^{1/r}=1$, diperoleh $(|x|^r+|y|^r)^{1/r}$ menuju $a$.

    Like

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s