Misalkan r adalah bilangan real positif dan Lr menyatakan panjang kurva |x|r + |y|r = 1. Buktikan bahwa limit Lr untuk r menuju tak terhingga sama dengan limit Lr untuk r menuju 0.
Catatan. Problem ini muncul dalam Mathematical Analysis & Geometry Day (MaG-D) IX, yang diselenggarakan di ITB pada tanggal 23 April 2016, dan diikuti oleh 164 mahasiswa dari berbagai perguruan tinggi di Indonesia (yang terjauh dari Universitas Sumatera Utara, Medan).
Terkait dengan problem ini, buktikan bahwa:
1. jika r < s, maka (|x|r + |y|r)1/r > (|x|s + |y|s)1/s.
2. jika r menuju tak terhingga, maka (|x|r + |y|r)1/r menuju maks{|x|, |y|}, nilai terbesar di antara |x| dan |y|.
*
Bandung, 27-04-2016
Bermatematika 
1. Karena $r/s<1$, maka
$$(|x|^s+|y|^s)^{r/s} \le (|x|^s)^{r/s}+(|x|^s)^{r/s}=|x|^r+|y|^r$$
2. Misalkan $a=\max(|x|,|y|)$, maka
$$ a\le (|x|^r+|y|^r)^{1/r} \le 2^{1/r} a.$$
Dengan prinsip apit dan $\lim_{r\to \infty} 2^{1/r}=1$, diperoleh $(|x|^r+|y|^r)^{1/r}$ menuju $a$.
LikeLike
Mantap! Bagaimana dengan panjang kurvanya? Salam, HG
LikeLike