Pertukaran Dua Operasi dalam Matematika

Dalam matematika, ada banyak operasi: penjumlahan, perkalian, pemangkatan, penurunan (terhadap fungsi), pengintegralan, dan lain-lain. Beberapa operasi kadang dilakukan berturutan. Misal, setelah penjumlahan, kita lakukan penguadratan (terhadap hasil penjumlahan).

Nah, secara umum, bila kita melakukan operasi I lalu operasi II, hasilnya berbeda dengan hasil operasi II lalu operasi I. Dalam hal demikian, kita katakan bahwa operasi I tidak dapat ‘bertukar’ dengan operasi II. Sebagai contoh

(x+y)^2\not=x^2+y^2,

yakni operasi penjumlahan tidak dapat bertukar dengan operasi penguadratan.

Demikian pula operasi penjumlahan tidak dapat bertukar dengan operasi penghitungan nilai sinus:

\sin(x+y)\not=\sin(x)+\sin(y).

Namun, ada kalanya kita menemukan pasangan operasi yang dapat bertukar. Sebagai contoh, dalam kalkulus, berlaku

\lim\limits_{x\to c} [f(x)+g(x)] = \lim\limits_{x\to c} f(x) + \lim\limits_{x\to c} g(x)

dan

\lim\limits_{x\to c} f(x)g(x) = \lim\limits_{x\to c} f(x) \lim\limits_{x\to c} g(x).

Juga, bila f adalah fungsi yang kontinu di titik c, maka

\lim\limits_{x\to c} f(x) = f(c) = f(\lim\limits_{x\to c} x).

Di sini, operasi limit bertukar dengan operasi penghitungan nilai fungsi f.

Beranjak ke operasi penurunan fungsi, kita mempunyai

(f + g)^\prime(x) = f^\prime(x) + g^\prime(x).

Dalam kata-kata, turunan dari jumlah dua fungsi sama dengan jumlah dari turunan masing-masing fungsi. Agar lebih mudah mengingatnya, saya sering mengatakan bahwa “turunan dari jumlah sama dengan jumlah dari turunan.”

O ya, tentu masih banyak pasangan operasi yang tidak dapat bertukar. Misalnya

(fg)^\prime(x)\not= f^\prime(x)g^\prime(x).

Turunan dari hasil kali tidak sama dengan hasil kali turunan. (Anda tahu kan aturan turunan yang benar untuk hasil kali dua fungsi?)

Mengakhiri artikel ini, perhatikan dua rumus di bawah ini:

\log(xy) = \log(x) + \log(y);

\exp(x + y) = \exp(x)\exp(y).

Dalam rumus pertama, nilai logaritma dari hasil kali dua bilangan sama dengan jumlah dari nilai logaritma masing-masing bilangan. Dalam rumus kedua, nilai eksponen dari jumlah dua bilangan sama dengan hasil kali dari nilai eksponen masing-masing bilangan.

*

Bandung, 08-02-2020

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s