peluang

Peluang Bersyarat

Dulu, pada tahun 1990-an, naik kereta api Parahyangan dari Bandung ke Jakarta atau sebaliknya tidak terlalu aman. Bukan karena rel atau keretanya bermasalah, tetapi di perjalanan banyak anak-anak nakal yang melempar batu ke jendela kereta api yang lewat. Banyak kaca jendela yang pecah, dan bila batunya lumayan besar, pecahan kaca dapat terlontar dan melukai kepala atau wajah penumpang.

Terkait dengan peristiwa tersebut, ada rekan dosen bercanda begini. “Peluang jendela kaca kereta api yang kita tumpangi dilempari batu dua kali berturut-turut sangat kecil. Karena itu, bila kita naik kereta api, supaya aman kita lempari saja jendela kaca di sebelah tempat duduk kita dengan batu (berukuran kecil) secara lembut.”

Masuk akal kah argumentasinya?

KA Parahyangan

Sumber gambar: https://id.wikipedia.org

Dalam artikel sebelumnya, kita telah membahas dua kejadian yang saling bebas. Saya kutip lagi: Jika A dan B adalah dua kejadian dalam suatu percobaan, maka A dan B saling bebas apabila P(A ∩ B) = P(A)×P(B). Anda mungkin bertanya, mengapa rumusnya seperti itu?

Bila kita ingin mengetahui peluang terjadinya kejadian B dengan asumsi bahwa kejadian A telah terjadi, maka yang kita hitung adalah P(A ∩ B)/P(A). Peluang ini disebut sebagai peluang bersyarat terjadinya kejadian B bila diketahui kejadian A telah terjadi, dan biasanya dituliskan dengan notasi P(B|A). Nah, jika P(B|A) = P(B), maka A dan B saling bebas.

Jadi A dan B saling bebas jika dan hanya jika P(A ∩ B) = P(A)×P(B).

Kembali ke cerita tentang kereta api Parahyangan di atas, sesungguhnya peluang jendela kaca kereta api dilempari batu lagi (oleh anak-anak nakal) dalam suatu perjalanan tidak berkurang hanya karena kita telah melempari sendiri jendela kaca di sebelah tempat duduk kita.

Jika peluang jendela kaca dilempari batu (oleh siapapun) dalam suatu perjalanan katakanlah sama dengan 1/100, maka peluang jendela kaca dilempari batu dua kali dalam perjalanan yang sama adalah 1/100 × 1/100 = 1/10.000, sebuah bilangan yang memang kecil. Tetapi, peluang jendela kaca dilempari batu untuk kedua kalinya bila jendela kaca tersebut telah dilempari batu sebelumnya adalah 1/10.000 dibagi dengan 1/100, yang sama dengan 1/100. Jadi peluangnya tetap 1/100, tidak menjadi lebih kecil, apalagi menjadi sangat kecil.

*

Bandung, 24-11-2017

Advertisements

Kejadian Saling Lepas dan Kejadian Saling Bebas

Ada guru bertanya: apakah kejadian saling lepas merupakan kejadian saling bebas? Ia juga meminta contoh kejadian saling lepas dan kejadian saling bebas.

Duh, sebetulnya saya hampir lupa konsep-konsep dasar dalam Statistika. Untungnya ada pertanyaan tersebut. Jadi, setelah ngobrol dengan anak saya (yang sudah lulus SMA), saya pun ingat lagi konsep-konsep tersebut.

Dua kejadian dikatakan saling lepas apabila kedua kejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan. Sebagai contoh, bila kita melempar sebuah dadu, kita tidak mungkin memperoleh bilangan ganjil dan bilangan genap sekaligus. Kejadian munculnya bilangan ganjil dan kejadian munculnya bilangan genap pada pelemparan sebuah dadu merupakan dua kejadian yang saling lepas.

Menggunakan notasi himpunan dan peluang, jika A dan B adalah dua kejadian dalam suatu percobaan, maka A dan B saling lepas apabila P(A ∩ B) = 0.

Lalu, apa yang dimaksud dengan kejadian saling bebas? Dua kejadian dikatakan saling bebas apabila peluang kejadian pertama tidak dipengaruhi oleh kejadian kedua, dan sebaliknya peluang kejadian kedua juga tidak dipengaruhi oleh kejadian pertama. Jika A dan B adalah dua kejadian dalam suatu percobaan, maka A dan B saling bebas apabila P(A ∩ B) = P(A)×P(B).

Sebagai contoh, bila kita melempar dua buah dadu, maka kejadian munculnya bilangan 1 pada dadu pertama (peluangnya 1/6) dan kejadian munculnya bilangan 6 pada dadu kedua (peluangnya juga 1/6) merupakan dua kejadian saling bebas. Peluang terjadinya dua kejadian tersebut sekaligus adalah 1/36.

Sumber gambar: magictricks.com

Apakah ada kejadian yang tidak saling lepas dan sekaligus tidak saling bebas? Tentu saja ada. Sebagai contoh, bila kita melempar sebuah dadu, maka kejadian munculnya bilangan genap dan kejadian munculnya bilangan prima merupakan dua kejadian yang tidak saling lepas dan sekaligus tidak saling bebas. Untuk memastikan, sila cek kebenarannya dengan menghitung peluangnya!

*

Bandung, 21-11-2017