Peluang Bersyarat

Dulu, pada tahun 1990-an, naik kereta api Parahyangan dari Bandung ke Jakarta atau sebaliknya tidak terlalu aman. Bukan karena rel atau keretanya bermasalah, tetapi di perjalanan banyak anak-anak nakal yang melempar batu ke jendela kereta api yang lewat. Banyak kaca jendela yang pecah, dan bila batunya lumayan besar, pecahan kaca dapat terlontar dan melukai kepala atau wajah penumpang.

Terkait dengan peristiwa tersebut, ada rekan dosen bercanda begini. “Peluang jendela kaca kereta api yang kita tumpangi dilempari batu dua kali berturut-turut sangat kecil. Karena itu, bila kita naik kereta api, supaya aman kita lempari saja jendela kaca di sebelah tempat duduk kita dengan batu (berukuran kecil) secara lembut.”

Masuk akal kah argumentasinya?

Sumber gambar: https://id.wikipedia.org

Dalam artikel sebelumnya, kita telah membahas dua kejadian yang saling bebas. Saya kutip lagi: Jika A dan B adalah dua kejadian dalam suatu percobaan, maka A dan B saling bebas apabila P(A ∩ B) = P(A)×P(B). Anda mungkin bertanya, mengapa rumusnya seperti itu?

Bila kita ingin mengetahui peluang terjadinya kejadian B dengan asumsi bahwa kejadian A telah terjadi, maka yang kita hitung adalah P(A ∩ B)/P(A). Peluang ini disebut sebagai peluang bersyarat terjadinya kejadian B bila diketahui kejadian A telah terjadi, dan biasanya dituliskan dengan notasi P(B|A). Nah, jika P(B|A) = P(B), maka A dan B saling bebas.

Jadi A dan B saling bebas jika dan hanya jika P(A ∩ B) = P(A)×P(B).

Kembali ke cerita tentang kereta api Parahyangan di atas, sesungguhnya peluang jendela kaca kereta api dilempari batu lagi (oleh anak-anak nakal) dalam suatu perjalanan tidak berkurang hanya karena kita telah melempari sendiri jendela kaca di sebelah tempat duduk kita.

Jika peluang jendela kaca dilempari batu (oleh siapapun) dalam suatu perjalanan katakanlah sama dengan 1/100, maka peluang jendela kaca dilempari batu dua kali dalam perjalanan yang sama adalah 1/100 × 1/100 = 1/10.000, sebuah bilangan yang memang kecil. Tetapi, peluang jendela kaca dilempari batu untuk kedua kalinya bila jendela kaca tersebut telah dilempari batu sebelumnya adalah 1/10.000 dibagi dengan 1/100, yang sama dengan 1/100. Jadi peluangnya tetap 1/100, tidak menjadi lebih kecil, apalagi menjadi sangat kecil.

*

Bandung, 24-11-2017