syarat cukup

Turunan dan Kekontinuan – I

Bila Anda sudah ‘mencicipi’ Kalkulus, tentunya Anda sudah mengetahui apa yang dimaksud dengan turunan dari suatu fungsi, serta riwayatnya – yang terkait dengan upaya Newton menentukan kecepatan sesaat dari suatu partikel yang bergerak dan upaya Leibniz menentukan gradien garis singgung pada suatu kurva di suatu titik.

Diberikan sebuah fungsi f : I → R, dengan I ⊆ R suatu interval yang memuat titik c, turunan dari f di titik c didefinisikan sebagai

definisi turunan

asalkan limit ini ada. Perhatikan jika f mempunyai turunan di c, maka

turunan dan kekontinuan

dan karena itu

limit fungsi kontinu

yang berarti bahwa f kontinu di c. Jadi, kekontinuan f di c merupakan syarat perlu bagi eksistensi turunan f di c. Tetapi, ada banyak contoh yang memperlihatkan bahwa kekontinuan f di c bukanlah merupakan syarat cukup bagi eksistensi turunan f di c.

Salah satu contoh penyangkalnya adalah f(x) = |x|. Fungsi ini kontinu di 0, tetapi tidak mempunyai turunan di 0 karena

turunan nilai mutlak di 0

tidak ada (limit kirinya sama dengan -1, sedangkan limit kanannya sama dengan 1).

Terkait dengan eksistensi limit, kita mengetahui ada beberapa hal yang dapat menyebabkan limit suatu fungsi di suatu titik tidak ada. Penyebab pertama adalah limit kiri dan limit kanannya ada tetapi tidak sama. Penyebab kedua adalah limit kiri atau limit kanannya tidak ada, entah karena ‘menuju tak terhingga’ atau ‘berosilasi’.

Problem: Temukan fungsi f yang kontinu di suatu titik c tetapi tidak mempunyai turunan di titik itu karena limit kiri dan/atau limit kanan dari [f(x) – f(c)]/(x – c) tidak ada, khususnya karena (a) limit kiri dan/atau limit kanannya ‘menuju tak terhingga’ dan (b) limit kiri dan/atau limit kanannya ‘berosilasi’.

*

Bandung, 11-07-2017

Titik Belok dan Titik Riak

Ketika memeriksa berkas ujian Kalkulus semester ini, saya menemukan kesalahan yang acap kali dilakukan oleh sejumlah mahasiswa dari tahun ke tahun. Salah satu kesalahan tersebut terkait dengan konsep titik belok (Ing. “inflection point”). Beberapa mahasiswa menulis bahwa titik belok dari y = f(x) adalah titik c dengan f ’’(c) = 0. Padahal, dalam kuliah, telah didefinisikan bahwa titik belok dari y = f(x) adalah titik c sedemikian sehingga f kontinu di c dan kecekungan kurva di sebelah kiri c berbeda dengan kecekungan kurva di sebelah kanan c.

Sebagai contoh, c = 0 merupakan titik belok dari y = f(x) = x3, karena f kontinu di 0, f cekung ke bawah di sebelah kiri 0 (f ’’(x) = 6x < 0 untuk x < 0), dan f cekung ke atas di sebelah kanan 0 (f ’’(x) = 6x > 0 untuk x > 0). Memang, untuk contoh ini, kita mempunyai f ’’(0) = 0, tetapi ini bukan merupakan syarat cukup untuk menjadikan c = 0 titik belok.

Untuk melihat bahwa secara umum f ’’(c) = 0 bukan syarat cukup untuk menjadikan c titik belok, tinjau contoh lainnya, yaitu y = f(x) = x4. Di sini, f’(x) = 4x3 dan f ’’(x) = 12x2. Jadi f ’’(0) = 0, tetapi f ’’(x) > 0 baik untuk x > 0 maupun x < 0. Jadi kurva y = f(x) memiliki kecekungan yang sama di sebelah kiri dan kanan 0. Titik c = 0 dalam hal ini bukan merupakan titik belok.

Titik c dengan f ’’(c) = 0 tetapi f ’’(x) bertanda sama di sebelah kiri dan kanan c disebut titik riak (Ing. “undulation point”). Selain pada kurva y = f(x) = x4, titik c = 0 juga merupakan titik riak pada kurva y = f(x) = x4 + x, yang grafiknya diperlihatkan pada gambar di bawah ini.

Masih terkait dengan kurva y = f(x) = x4 dan y = f(x) = x4 + x, bila kita hitung turunan ketiganya, kita peroleh f ’’’(x) = 24x, sehingga f ’’’(0) = 0. Jadi tidak mengherankan bila kecekungan kurva y = f(x) tidak berbeda di sekitar 0.

Secara umum, jika f ’’(c) = 0 dan f ’’’(c) ≠ 0, maka c merupakan titik belok (sebagaimana terjadi pada y = f(x) = x3). Tetapi, sekalipun f mempunyai turunan kedua di c dan sekitarnya, tidak ada jaminan bahwa f mempunyai turunan ketiga di c. Dalam hal ini, kita harus kembali ke definisi, yaitu memeriksa kecekungan di sebelah kiri dan kanan c.

Bila f ’’(c) = 0 bukan merupakan syarat cukup, apakah ia merupakan syarat perlu? Jawabannya tidak juga. Sebagai contoh, y = f(x) = x|x| kontinu dan mempunyai turunan pertama di 0, yaitu f ’(0) = 0, tetapi tidak mempunyai turunan kedua di 0. Meskipun demikian, f ’’(x) < 0 untuk x < 0 dan f ’’(x) > 0 untuk x > 0, sehingga c = 0 merupakan titik belok karena kurva y = f(x) cekung ke bawah di sebelah kiri 0 dan cekung ke atas di sebelah kanan 0.

Problem: Diketahui y = f(x) = x2|x|. Selidiki apakah c = 0 merupakan titik belok atau titik riak.

*

Bandung, 07-11-2016