Syarat Cukup dan Perlu Untuk Keterbatasan Operator Integral Fraksional di Ruang Morrey Diperumum

Pada akhir tahun 2018, saya sudah memperkenalkan operator integral fraksional dan sifat keterbatasannya. Misalkan 0<\alpha<n. Operator I_\alpha yang memetakan fungsi f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R} ke I_\alpha f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R} dengan

I_\alpha f(x) :=\int_{\mathbb{R}^n} \frac{f(y)}{|x-y|^{n-\alpha}}\,dy

dikenal sebagai operator integral fraksional.

Operator integral fraksional merupakan operator terbatas dari ruang Lebesgue L^p(\mathbb{R}^n) ke ruang Lebesgue L^q(\mathbb{R}^n), yakni terdapat C>0 sedemikian sehingga

\|I_\alpha f\|_q \le C\,\|f\|_p,

untuk \alpha=\frac{n}{p}-\frac{n}{q},\ 1<p<q<\infty. (Ketaksamaan di atas dikenal sebagai ketaksamaan Hardy-Littlewood-Sobolev, karena pertama kali dibuktikan oleh G.H. Hardy dan J.E. Littlewood pada tahun 1920-an dan diperumum oleh S.L. Sobolev pada tahun 1930-an.)

Lebih lanjut, dapat dibuktikan bahwa kondisi \alpha=\frac{n}{p}-\frac{n}{q} bukan hanya merupakan syarat cukup tetapi juga syarat perlu bagi keterbatasan operator I_\alpha dari L^p(\mathbb{R}^n) ke L^q(\mathbb{R}^n).

Nah, sejak awal tahun 2000-an, saya mempelajari operator integral fraksional diperumum

I_\rho f(x) := \int_{\mathbb{R}^n} \frac{\rho(|x-y|)}{|x-y|^n} f(y)\,dy

dan berhasil mendapatkan suatu syarat cukup (terkait dengan fungsi \rho) untuk keterbatasan I_\rho di ruang Morrey diperumum.

Belakangan, saya bersama dengan Eridani, E. Nakai, dan Y. Sawano menyadari bahwa syarat cukup tersebut juga merupakan syarat perlu. Bahkan, kami menemukan lebih banyak fakta menarik lainnya, yang kemudian kami tuliskan dalam paper berjudul “Characterizations for the gereralized fractional integral operators on Morrey spaces“. Paper ini kami publikasikan di Math Ineq. Appl. 17-2 (2014), 761-767. Sila unduh dan baca papernya bila Anda tertarik.

*

Bandung, 23-07-2019

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s