Turunan dan Kekontinuan – I

Bila Anda sudah ‘mencicipi’ Kalkulus, tentunya Anda sudah mengetahui apa yang dimaksud dengan turunan dari suatu fungsi, serta riwayatnya – yang terkait dengan upaya Newton menentukan kecepatan sesaat dari suatu partikel yang bergerak dan upaya Leibniz menentukan gradien garis singgung pada suatu kurva di suatu titik.

Diberikan sebuah fungsi f : I → R, dengan I ⊆ R suatu interval yang memuat titik c, turunan dari f di titik c didefinisikan sebagai

asalkan limit ini ada. Perhatikan jika f mempunyai turunan di c, maka

dan karena itu

yang berarti bahwa f kontinu di c. Jadi, kekontinuan f di c merupakan syarat perlu bagi eksistensi turunan f di c. Tetapi, ada banyak contoh yang memperlihatkan bahwa kekontinuan f di c bukanlah merupakan syarat cukup bagi eksistensi turunan f di c.

Salah satu contoh penyangkalnya adalah f(x) = |x|. Fungsi ini kontinu di 0, tetapi tidak mempunyai turunan di 0 karena

tidak ada (limit kirinya sama dengan -1, sedangkan limit kanannya sama dengan 1).

Terkait dengan eksistensi limit, kita mengetahui ada beberapa hal yang dapat menyebabkan limit suatu fungsi di suatu titik tidak ada. Penyebab pertama adalah limit kiri dan limit kanannya ada tetapi tidak sama. Penyebab kedua adalah limit kiri atau limit kanannya tidak ada, entah karena ‘menuju tak terhingga’ atau ‘berosilasi’.

Problem: Temukan fungsi f yang kontinu di suatu titik c tetapi tidak mempunyai turunan di titik itu karena limit kiri dan/atau limit kanan dari [f(x) – f(c)]/(x – c) tidak ada, khususnya karena (a) limit kiri dan/atau limit kanannya ‘menuju tak terhingga’ dan (b) limit kiri dan/atau limit kanannya ‘berosilasi’.

*

Bandung, 11-07-2017