invers fungsi monoton

Fungsi Monoton Sejati yang Kontinu pada Interval

Fungsi f yang naik sejati pada I mempunyai invers f -1 yang naik sejati pada J = {f(x) : x ∈ I}. Nah, jika diketahui bahwa I merupakan interval dan f kontinu pada I, maka daerah nilainya yaitu J juga merupakan suatu interval dan f -1 kontinu pada J, sebagaimana dinyatakan dalam teorema berikut.

Teorema. Misalkan f : I → J dengan I = [a, b] dan J = {f(x) : x ∈ I}. Jika f naik sejati dan kontinu pada I, maka f -1 : J → I kontinu pada J.

Teorema ini dapat dibuktikan secara tidak langsung alias dengan kontradiksi. Andaikan f -1 tidak kontinu di suatu titik d ∈ J. Asumsikan bahwa d bukan titik ujung J. Mengingat f -1 naik sejati pada J, maka f -1(d –) dan f -1(d+) ada, dan f -1(d –) < f -1(d+). Sekarang misalkan c ∈ I sedemikian sehingga

f -1(d –) < c < f -1(d+) dan c ≠ f -1(d).

Akibatnya f(c) tidak terdefinisi (buatlah ilustrasinya!), dan ini bertentangan dengan hipotesis bahwa f terdefinisi pada I. [QED]

*

Bandung, 16-06-2017

Fungsi Monoton Tak Kontinu yang Inversnya Kontinu

Barangkali ada yang penasaran dengan problem terkait kekontinuan invers fungsi monoton yang ditayangkan pada tanggal 09-06-2017. Jawabannya adalah “mungkin”. Contohnya adalah fungsi f yang memiliki grafik sebagai berikut:

Perhatikan bahwa f naik sejati pada [0, 1] dan tidak kontinu di x = ½. Inversnya merupakan fungsi naik sejati yang terdefinisi pada [0, 1) ∪ [2, 3], dengan grafik sebagaimana diperlihatkan di bawah ini:

Nah, f -1 merupakan fungsi yang kontinu pada [0, 1) ∪ [2, 3], ya kan?

*

Bandung, 13-06-2017

Fungsi Monoton Sejati dan Inversnya

Fungsi f dikatakan naik sejati pada I apabila untuk setiap x, y ∈ I dengan x < y berlaku f(x) < f(y). Fungsi f dikatakan turun sejati pada I apabila untuk setiap x, y ∈ I dengan x < y berlaku f(x) > f(y). Fungsi naik sejati atau turun sejati pada I disebut fungsi monoton sejati pada I.

Fungsi monoton sejati merupakan fungsi satu-ke-satu, dan karenanya ia akan mempunyai invers.

Buktikan jika f naik sejati pada I dan J = {f(x) : x ∈ I}, maka invers dari f naik sejati pada J. (Serupa dengan itu, jika f turun sejati pada I dan J = {f(x) : x ∈ I}, maka invers dari f turun sejati pada J.)

*

Bandung, 06-06-2017