Fungsi Monoton Sejati yang Kontinu pada Interval

Fungsi f yang naik sejati pada I mempunyai invers -1 yang naik sejati pada J = {f(x) : x ∈ I}. Nah, jika diketahui bahwa I merupakan interval dan f kontinu pada I, maka daerah nilainya yaitu J juga merupakan suatu interval dan -1 kontinu pada J, sebagaimana dinyatakan dalam teorema berikut.

Teorema. Misalkan f : I → J dengan I = [a, b] dan J = {f(x) : x ∈ I}. Jika f naik sejati dan kontinu pada I, maka -1 : J → I kontinu pada J.

Teorema ini dapat dibuktikan secara tidak langsung alias dengan kontradiksi. Andaikan -1 tidak kontinu di suatu titik d ∈ J. Asumsikan bahwa d bukan titik ujung J. Mengingat -1 naik sejati pada J, maka -1() dan -1(d+) ada, dan -1() < -1(d+). Sekarang misalkan c ∈ I sedemikian sehingga

-1() < c < -1(d+) dan c-1(d).

Akibatnya f(c) tidak terdefinisi (buatlah ilustrasinya!), dan ini bertentangan dengan hipotesis bahwa f terdefinisi pada I. [QED]

*

Bandung, 16-06-2017

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s