Fungsi f yang naik sejati pada I mempunyai invers f -1 yang naik sejati pada J = {f(x) : x ∈ I}. Nah, jika diketahui bahwa I merupakan interval dan f kontinu pada I, maka daerah nilainya yaitu J juga merupakan suatu interval dan f -1 kontinu pada J, sebagaimana dinyatakan dalam teorema berikut.
Teorema. Misalkan f : I → J dengan I = [a, b] dan J = {f(x) : x ∈ I}. Jika f naik sejati dan kontinu pada I, maka f -1 : J → I kontinu pada J.
Teorema ini dapat dibuktikan secara tidak langsung alias dengan kontradiksi. Andaikan f -1 tidak kontinu di suatu titik d ∈ J. Asumsikan bahwa d bukan titik ujung J. Mengingat f -1 naik sejati pada J, maka f -1(d –) dan f -1(d+) ada, dan f -1(d –) < f -1(d+). Sekarang misalkan c ∈ I sedemikian sehingga
f -1(d –) < c < f -1(d+) dan c ≠ f -1(d).
Akibatnya f(c) tidak terdefinisi (buatlah ilustrasinya!), dan ini bertentangan dengan hipotesis bahwa f terdefinisi pada I. [QED]
*
Bandung, 16-06-2017
Bermatematika 