Fungsi f dikatakan naik sejati pada I apabila untuk setiap x, y ∈ I dengan x < y berlaku f(x) < f(y). Fungsi f dikatakan turun sejati pada I apabila untuk setiap x, y ∈ I dengan x < y berlaku f(x) > f(y). Fungsi naik sejati atau turun sejati pada I disebut fungsi monoton sejati pada I.
Fungsi monoton sejati merupakan fungsi satu-ke-satu, dan karenanya ia akan mempunyai invers.
Buktikan jika f naik sejati pada I dan J = {f(x) : x ∈ I}, maka invers dari f naik sejati pada J. (Serupa dengan itu, jika f turun sejati pada I dan J = {f(x) : x ∈ I}, maka invers dari f turun sejati pada J.)
*
Bandung, 06-06-2017
Bermatematika 
Wah, saya sudah lama tidak “bersentuhan” dengan analisis, nih. Saya coba, ya, Pak:
Asumsikan
. Misalkan 
sedemikian sehingga a < b. Akan ditunjukkan bahwa 
.
, sebab ini berarti f bukan fungsi.
, maka kita menemukan 
dengan A > B, sedemikian sehingga a < b atau f(A) < f(B). Padahal, f adalah fungsi yang naik sejati. Kontradiksi.
(i) Tidak mungkin
(ii) Apabila
Dengan demikian haruslah jika f naik sejati pada I, inversnya naik sejati pada J.
LikeLike
Hmmm, sepertinya LaTeX-nya agak error sehingga beberapa bagian tidak muncul, saya coba ketik ulang tanpa LaTeX:
Wah, saya sudah lama tidak “bersentuhan” dengan analisis, nih. Saya coba, ya, Pak:
Asumsikan f: I => J naik sejati. Misalkan a, b anggota J sedemikian sehingga a < b. Akan ditunjukkan bahwa f^{-1}(a) f^{-1}(b), maka kita menemukan A, B anggota I dengan A > B, sedemikian sehingga a < b atau f(A) < f(B). Padahal, f adalah fungsi yang naik sejati. Kontradiksi.
Dengan demikian haruslah jika f naik sejati pada I, inversnya naik sejati pada J.
LikeLike
Sepertinya masih banyak salah ketik.
LikeLike