Hasil Kali Tak Terhingga untuk Sinc x dan Rumus Wallis untuk Pi

Pada tahun 1730-an, Leonhard Euler (1707-1783) ‘membuktikan’ bahwa

untuk setiap bilangan real x. Bagaimana caranya Euler mendapatkan rumus ini?

Bila p(x) adalah polinom berderajarat n yang memiliki n akar r₁, r₂, …, r_n, maka p(x) = C(x – r₁)(x – r₂) … (x – r_n). Bila tidak akar yang bernilai 0, maka kita dapat menuliskannya sebagai p(x) = K(1 – x/r₁)(1 – x/r₂) … (1 – x/r_n), dengan K = p(0). Nah, fungsi sinc x mempunyai tak terhingga akar, yaitu x = ±nπ, dengan n = 1, 2, 3, … , dan sinc 0 = 1. Dengan sedikit ‘iman’, Euler menyimpulkan bahwa

Fakta ini dikukuhkan kemudian oleh Karl Weierstrass (1815-1897). Secara umum Weierstrass membuktikan bahwa hal serupa berlaku untuk sembarang fungsi bernilai kompleks yang bersifat entire. (Sebagai fungsi bernilai kompleks, sinc z merupakan fungsi entire.) Hasil ini dikenal sebagai Teorema Faktorisasi Weierstrass, yang dapat dianggap sebagai perumuman dari Teorema Dasar Aljabar.

O ya, perhatikan bahwa bila kita pilih x = π/2, maka rumus di atas memberikan

yang tak lain merupakan Rumus Wallis untuk bilangan π.

*

Bandung, 14-02-2017