Hasil Kali Tak Terhingga untuk Sinc x dan Rumus Wallis untuk Pi

Pada tahun 1730-an, Leonhard Euler (1707-1783) ‘membuktikan’ bahwa

infinite-product-1

untuk setiap bilangan real x. Bagaimana caranya Euler mendapatkan rumus ini?

Bila p(x) adalah polinom berderajarat n yang memiliki n akar r1, r2, …, rn, maka p(x) = C(xr1)(xr2) … (xrn). Bila tidak akar yang bernilai 0, maka kita dapat menuliskannya sebagai p(x) = K(1 – x/r1)(1 – x/r2) … (1 – x/rn), dengan K = p(0). Nah, fungsi sinc x mempunyai tak terhingga akar, yaitu x = ±nπ, dengan n = 1, 2, 3, … , dan sinc 0 = 1. Dengan sedikit ‘iman’, Euler menyimpulkan bahwa

infinite-product-2

Fakta ini dikukuhkan kemudian oleh Karl Weierstrass (1815-1897). Secara umum Weierstrass membuktikan bahwa hal serupa berlaku untuk sembarang fungsi bernilai kompleks yang bersifat entire. (Sebagai fungsi bernilai kompleks, sinc z merupakan fungsi entire.) Hasil ini dikenal sebagai Teorema Faktorisasi Weierstrass, yang dapat dianggap sebagai perumuman dari Teorema Dasar Aljabar.

O ya, perhatikan bahwa bila kita pilih x = π/2, maka rumus di atas memberikan

infinite-product-3

yang tak lain merupakan Rumus Wallis untuk bilangan π.

*

Bandung, 14-02-2017

Advertisements

2 comments

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s