Rumus Wallis untuk Bilangan Pi

Perkuliahan Semester II di ITB sudah dimulai sejak pertengahan Januari 2017. Melanjutkan tugas Semester I, saya mengajar Matematika TPB yang isinya sebetulnya ‘hanya’ Kalkulus. Nah, topik pertama yang dibahas pada awal Semester II ini adalah teknik pengintegralan. Dalam pembahasan integral trigonometri, ada rumus rekursif yang dapat diperoleh dengan pengintegralan parsial (sila coba):

Dengan rumus rekursif ini, kita dapat memperoleh Rumus Wallis untuk bilangan π, yaitu

yang ditemukan oleh John Wallis pada tahun 1655 (melalui cara lain). Persisnya, untuk n = 1, 2, 3, … , misalkan

Maka, dengan induksi, kita dapatkan

Sementara itu, untuk x di antara 0 dan π/2, kita mempunyai sin²ⁿ⁺¹ x ≤ sin²ⁿ x ≤ sin^2n–1 x. Bila kita integralkan ketiga ruas pada interval [0, π/2], maka kita peroleh

yang kemudian dapat disederhanakan menjadi f(n) ≤ π/2 ≤ f(n)(2n + 1)/(2n).

Dari sini kita melihat bahwa f(n) → π/2 untuk n → ∞, yang mengukuhkan Rumus Wallis untuk bilangan π.

Pada tahun 2015, fisikawan C.R. Hagen dan T. Friedmann menemukan Rumus Wallis dalam perhitungan mekanika kuantum untuk tingkat energi dari suatu atom hidrogen [T. Friedmann ; C.R. Hagen. “Quantum mechanical derivation of the Wallis formula for pi.” Journal of Mathematical Physics Vol. 56 (2015)].

*

Bandung, 31-01-2017