Bilangan Real

Apakah bilangan real itu real (nyata)? Dalam artikel “Tuhan Menciptakan Bilangan Bulat”, saya pernah mengutarakan bahwa bilangan real bukan sesuatu yang mudah. Sejumlah matematikawan kondang pun pernah menyanggah konsep bilangan real. Sesulit apa sih memahami bilangan real itu?

Anda tentunya sudah akrab dengan bilangan pecahan. Kita dapat memperoleh bilangan pecahan dengan cara membagi suatu bilangan bulat dengan bilangan bulat tak nol. Bilangan pecahan atau istilah kerennya bilangan rasional telah dikenal dengan baik oleh matematikawan Yunani Kuno. Selain bilangan rasional, ada bilangan irasional seperti √2 dan π yang juga telah dikenal sejak zaman dulu. Namun, pemahaman tentang bilangan real, khususnya bilangan irasional, bukanlah sesuatu yang mudah.

Berapa sesungguhnya nilai √2 dan π itu? Keduanya hanya lambang: √2 adalah bilangan yang kuadratnya sama dengan 2, sementara π menyatakan rasio keliling suatu lingkaran terhadap diameternya. Berapa nilai √2 dan π sesungguhnya tidak pernah kita ketahui secara persis.

Dalam artikel sebelumnya, kita membahas bilangan desimal, yang merupakan cara kita merepresentasikan suatu bilangan real. Representasi desimal dari suatu bilangan real positif kita peroleh dengan cara menghampiri bilangan itu ‘dari kiri’, mulai dengan menentukan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil daripada atau sama dengan bilangan itu, lalu menentukan bilangan sepersepuluhan terbesar yang dapat kita tambahkan pada bilangan bulat tadi, sehingga kita peroleh bilangan bulat plus bilangan sepersepuluhan terbesar yang jumlahnya lebih kecil daripada atau sama dengan bilangan itu, dan selanjutnya kita tambahkan bilangan seperseratusan, seperseribuan, dan seterusnya, namun jumlahnya tetap lebih kecil daripada atau sama dengan bilangan itu.

Nah, tentunya kita dapat menaksir sebuah bilangan real seperti √2 dengan cara lain, misalnya dengan pecahan berlanjut, sebagaimana telah dilakukan pula oleh orang Yunani Kuno:

Bentuk pecahan berlanjut di atas memberi kita taksiran nilai √2 ‘dari kiri dan kanan’ secara bergantian. Persisnya, kita mempunyai barisan bilangan rasional 1, 3/2, 7/5, 17/12, dan seterusnya, yang ‘konvergen’ ke bilangan √2.

Dari bentuk bilangan desimal √2 = 1.41421356… , kita juga mempunyai barisan bilangan rasional 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, dan seterusnya, yang konvergen ke bilangan √2.

Kedua barisan bilangan rasional di atas dapat kita anggap sebagai representasi bilangan √2. Walau barisannya berbeda, limitnya sama, yaitu √2.

Secara umum, bilangan real dapat direpresentasikan oleh barisan bilangan rasional yang ‘berpotensi’ konvergen — yaitu barisan bilangan rasional yang suku-sukunya semakin berdekatan alias memiliki sifat Cauchy.

Bila Anda membaca ulang artikel tentang bilangan nol, mudah-mudahan sekarang Anda paham tentang dua makna bilangan 0 yang saya bahas dalam artikel tersebut. Yang pertama dapat dikaitkan dengan barisan bilangan rasional 0, 0, 0, … yang tentunya konvergen ke 0 dan ‘sampai’ di 0; sedangkan yang kedua dapat dikaitkan dengan barisan bilangan rasional seperti 0.1, 0.01, 0.001, … yang juga konvergen ke 0 tetapi tidak pernah sampai di 0.

Nah, untuk bilangan irasional seperti √2, kita dapat memperoleh barisan bilangan rasional yang konvergen ke bilangan tersebut, tetapi tidak pernah sampai di sana.

Mudah-mudahan Anda sepakat dengan saya sekarang bahwa bilangan real bukan sesuatu yang mudah, he he.. . But that’s what makes real numbers interesting, isn’t it?

*

Bandung, 13-01-2018

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

w

Connecting to %s