Bilangan Desimal

Seperti halnya bilangan nol, banyak bilangan lainnya yang mempunyai dua makna atau dua ‘representasi’ yang berbeda. Hal ini terjadi juga ketika kita menuliskan bilangan real dalam sistem desimal. Sebagai contoh, kita mempunyai dua representasi desimal untuk bilangan 1, yaitu 1.000000… dan 0.999999… .

Saya menggunakan kata ‘banyak’, bukan ‘semua’. Mengapa? Karena ada bilangan yang hanya mempunyai satu representasi desimal, dan bilangan seperti ini juga banyak, bahkan lebih banyak daripada bilangan yang mempunyai dua representasi desimal. Sebagai contoh, bilangan nol dalam sistem desimal yang sedang kita bahas sekarang hanya mempunyai satu representasi desimal, yaitu 0.000000…, yang biasanya disingkat sebagai 0 saja. (Dalam artikel sebelumnya, bilangan 0 mempunyai dua makna dalam konteks yang berbeda, bukan dalam konteks bilangan desimal.)

Sebelum saya memberi contoh lainnya, mari kita ingat kembali bagaimana caranya mendapatkan representasi desimal dari suatu bilangan real (sebagaimana telah saya bahas dalam buku Menuju Tak Terhingga). Untuk memudahkan, misalkan kita mempunyai sebuah bilangan di antara 0 dan 1, sebutlah x. Untuk mendapatkan representasi desimalnya, kita bagi interval [0, 1] menjadi sepuluh interval yang sama panjang. Bilangan x tadi akan termuat setidak-tidaknya dalam salah satu interval bagian tersebut.

Bila, misalnya, x berada dalam interval bagian ketiga (dari kiri), maka x = 2/10 + δ₁, dengan δ₁ di antara 0 dan 1/10. Lalu kita bagi lagi interval [2/10, 3/10] menjadi sepuluh interval bagian yang sama panjang, dan misalkan x berada dalam interval bagian kelima. Maka x = 2/10 + 4/10² + δ₂, dengan δ₂ di antara 0 dan 1/10². Kita bagi sepuluh terus hingga, pada langkah ke-n, kita peroleh — misalnya

dengan δ_n di antara 0 dan 1/10ⁿ.

Proses pencarian representasi desimal x berhenti ketika kita mendapatkan δ_n = 0 untuk suatu n. Sebagai contoh, bila x = ½, dan pada langkah pertama kita putuskan bahwa x berada dalam interval keenam, maka x = 5/10 + 0. Dalam hal ini, kita dapatkan representasi desimal x = 0.5. Tetapi, bila pada langkah pertama kita putuskan bahwa x berada dalam interval kelima, maka x = 4/10 + δ₁ dengan δ₁ = 1/10 dan pada langkah-langkah berikutnya x akan selalu berada dalam interval kesepuluh, sehingga kita peroleh representasi desimal x = 0.499999… .

Untuk bilangan tertentu, proses mungkin berlanjut terus alias tak pernah berhenti, dan ini terjadi karena bilangan itu sendiri — bukan karena keputusan yang kita ambil di antara dua pilihan yang mungkin (seperti pada kasus x = ½). Sebagai contoh, bila x = ⅓, pada langkah pertama x berada dalam interval keempat dan demikian seterusnya pada langkah-langkah berikutnya x akan selalu berada dalam interval keempat. Hasilnya kemudian berupa deret:

Dalam hal ini, kita peroleh representasi desimal ⅓ = 0.333333… dan ini merupakan representasi desimal satu-satunya untuk bilangan ⅓.

Selain bilangan 1/3, ada banyak bilangan lainnya yang hanya mempunyai satu representasi desimal. Secara umum, semua bilangan irasional hanya mempunyai satu representasi desimal.

*

Bandung, 09-01-2018