Persamaan Diophantine – I

Diophantus, matematikawan Alexandria abad ke-3, terkenal dengan karyanya “Arithmetica” yang terdiri dari 13 jilid. (Namun, beberapa jilid di antaranya musnah terbakar ketika Museum dan Perpustakaan Besar-nya diserbu massa, pada abad ke-4 dan abad ke-7.)

Salah satu warisan Diophantus adalah persamaan yang kita kenal sekarang sebagai Persamaan Diophantine, yaitu persamaan aljabar dengan koefisien bilangan bulat dan solusi yang dikehendaki juga merupakan bilangan bulat.

Contoh Persamaan Diophantine yang paling klasik adalah persamaan ax + by = c, dengan a, b, dan c diketahui, misalnya 15x + 11y = 12. Bagaimana mencari solusi persamaan ini?

Karena 15 dan 11 relatif prima (faktor persekutuan terbesarnya sama dengan 1), kita dapat menemukan bilangan bulat x dan y sedemikian sehingga 15x + 11y = 1 dengan menggunakan Algoritma Euclid:

15 = 1(11) + 4

11 = 2(4) + 3

4 = 1(3) + 1

3 = 3(1) + 0.

Bila kita telusuri dari persamaan kedua terakhir, kita peroleh:

1 = 4 – 1(3)

= 4 – 1[11 – 2(4)] = 3(4) – 1(11)

= 3[15 – 1(11)] – 1(11) = 3(15) – 4(11).

Dengan demikian kita dapatkan solusi persamaan 15x + 11y = 1, yaitu x = 3 dan y = -4. (Tetapi ini bukan satu-satunya solusi. Solusi umum dari persamaan 15x + 11y = 1 adalah x = 3 – 11k dan y = -4 + 15k, dengan k bilangan bulat.)

Nah, solusi dari persamaan 15x + 11y = 12 sekarang dapat kita peroleh dengan mengalikan solusi dari persamaan 15x + 11y = 1 dengan 12. Jadi, solusi yang kita cari adalah x = 36 dan y = -48. Solusi umumnya adalah x = 36 – 11k dan y = -48 + 15k.

Sebagai latihan, sila coba dua problem di bawah ini:

1. Tentukan solusi bilangan bulat dari persamaan 57x – 24y = 12.

2. Untuk bilangan bulat c manakah persamaan 57x – 24y = c mempunyai solusi bilangan bulat?

*

Bandung, 08-10-2016