Persamaan Diophantine – II

Dalam buku “Arithmetica” jilid II karangan Diophantus, terdapat problem yang meminta pembaca menyatakan suatu bilangan yang merupakan jumlah dua bilangan kuadrat sebagai jumlah dua bilangan kuadrat lainnya. Bila bilangan yang kita bicarakan hanya bilangan bulat, maka kita sedang berhadapan dengan Persamaan Diophantine x2 + y2 = u2 + v2 dengan {x,y} ≠ {u,v} dan x, y, u, v ≠ 0.

Sebagai contoh, kita mengetahui bahwa 32 + 42 = 5= 25. Apakah 25 bisa dinyatakan sebagai jumlah dua bilangan kuadrat yang lainnya? Jawabannya tidak bisa. Lalu adakah bilangan yang dapat dituliskan sebagai jumlah dari dua bilangan kuadrat dalam dua cara berbeda?

Diophantus memberikan contohnya, yaitu 65 = 82 + 12 = 72 + 42. Secara umum, kita mempunyai kesamaan

persamaan-diophantine-ii

Nah, untuk a = 1, b = 2, c = 2, d = 3, kita mempunyai 5∙13 = 82 + (-1)2 = (-4)2 + 72 = 65.

Dari kesamaan di atas, kita peroleh bilangan terkecil yang dapat dinyatakan sebagai jumlah dua bilangan kuadrat dalam dua cara berbeda, yaitu 50. Dengan mensubstitusikan a = 1, b = 2, c = 1, d = 3, kita peroleh 50 = 72 + 12 = 52 + 52.

Namun, bila kita juga mempersyaratkan bahwa xy dan u ≠ v, maka 65 merupakan bilangan terkecil yang dapat dinyatakan sebagai jumlah dua bilangan kuadrat dalam dua cara berbeda, dengan bilangan-bilangan yang berbeda.

*

Bandung, 10-10-2016

 

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s