Logika dalam Kalimat Sehari-hari – I

SAYA MENYUKAI MATEMATIKA DAN MUSIK. Barangkali tidak ada yang akan bertanya apa maksud kalimat ini.

Tetapi, baru-baru ini, seorang teman memperlihatkan foto dirinya yang sedang makan di depan sebuah ‘pengumuman’ yang berbunyi: DILARANG MAKAN DAN MIMUM DI RUANGAN INI. Menurutnya, ia tidak melanggar seruan tersebut, karena ia hanya makan di ruangan tersebut, tidak minum. Saya setuju dengan teman saya. Berikut adalah alasannya.

Di banyak negara lain, ada peraturan bagi pengendara: DON’T DRINK AND DRIVE. Yang dimaksud adalah jangan menyetir dalam keadaan mabuk. OK, kita tidak akan membahas apa artinya mabuk — di negara sana sudah ada ketentuannya. Yang hendak saya kemukakan adalah bahwa peraturan tersebut tidak melarang orang (yang sudah mempunyai surat ijin mengemudi) untuk menyetir (mobil), asalkan ia tidak sedang mabuk. Peraturan tersebut juga tidak melarang orang untuk mabuk, asalkan kemudian ia tidak menyetir. Bahkan, dalam satu mobil, boleh ada dua orang, yang seorang menyetir (tetapi tidak dalam keadaan mabuk) dan yang seorang lagi dalam keadaan mabuk (tetapi tidak menyetir).

Nah, dengan analogi di atas, bila peraturannya berbunyi DILARANG MAKAN DAN MINUM DI RUANGAN INI, maka seseorang yang makan tetapi tidak minum di ruangan tersebut sesungguhnya tidak melanggar peraturan tersebut. Demikian juga sesorang yang minum tetapi tidak makan di ruangan tersebut tidak melanggar peraturan tersebut. Seseorang hanya dapat divonis melanggar peraturan tersebut bila ia makan DAN minum di ruangan tersebut. Bila saya hanya makan di ruang tersebut, dan pada saat yang sama teman saya hanya minum di ruangan tersebut, tidak ada pelanggaran yang terjadi.

Tetapi, anda mungkin berpikir, bukan seperti itu yang dikehendaki. OK, saya mengerti. Bila yang dikehendaki adalah tidak ada orang yang makan di ruangan tersebut, juga tidak ada orang yang minum di ruangan tersebut, serta tentunya tidak ada yang makan dan minum di ruangan tersebut, maka pengumumannya seharusnya berbunyi: DILARANG MAKAN ATAU MINUM DI RUANGAN INI.

Anda boleh geleng-geleng kepala, tetapi dua kalimat berikut: DILARANG MAKAN DAN MINUM DI RUANGAN INI dan DILARANG MAKAN ATAU MINUM DI RUANGAN INI mempunyai arti yang berbeda. Demikian juga DON’T DRINK AND DRIVE dan DON’T DRINK OR DRIVE mempunyai makna yang berbeda. Orang (di sana) akan protes bila peraturannya berbunyi DON’T DRINK OR DRIVE. Logika mereka jalan. Bagaimana dengan logika kita?

*

Bandung, 07-11-2017

Advertisements

Sepeda Beroda Persegi

Pernahkah anda melihat sepeda beroda persegi? Bagaimana sepeda tersebut bergerak di atas jalan yang rata? Ia akan bergerak naik-turun, ya kan? Nah, bila kita menghendaki sepeda tersebut bergerak mendatar tidak naik-turun, maka jalannya harus dibuat khusus, seperti pada gambar di bawah ini.

sepeda beroda persegi - 0

[Sumber: http://mathtourist.blogspot.co.id]

Hmm.. dapatkah kita menemukan persamaan kurva untuk sepeda beroda persegi tersebut?

sepeda beroda persegi - 2

Fungsinya jelas merupakan fungsi periodik. Karena itu, kita cukup meninjau satu penggal kurva tersebut.

sepeda beroda persegi - 3

Dengan asumsi bahwa panjang sisi roda sama dengan 2, kita harus mencari nilai y sebagai fungsi dari x. Jika x = 0, maka y = 1. Nah, ketika roda bergerak ke kanan (x > 0), nilai y membesar. Perhatikan gambar di sebelah kanan yang telah diperbesar. Sisi roda yang bersentuhan dengan jalan merupakan garis singgung pada kurva di titik x. Gradien garis singgung di titik tersebut sama dengan nilai tan t, yang juga sama dengan turunan dari y terhadap x. Jadi

sepeda beroda persegi - 4

Integralkan kedua ruas persamaan terakhir, kita peroleh

cosh-1 y = x + C.

Tetapi y = 1 ketika x = 0, sehingga C = 0. Jadi cosh-1 y = x atau y = cosh x.

A-ha, jadi penggalan kurva tersebut merupakan penggalan kurva cosinus hiperbolik yang telah kita bahas sebelumnya!

*

Bandung, 03-11-2017

Fungsi Trigonometri Hiperbolik – II

Seperti halnya kita mendefinisikan fungsi trigonometri tan x, cot x, sec x, dan csc x dari sin x dan cos x, kita juga dapat mendefinisikan fungsi trigonometri hiperbolik tanh x, coth x, sech x, dan csch x dari sinh x dan cosh x, sebagai berikut:

Kemudian, dengan membatasi daerah definisinya bila diperlukan, kita dapat mendefinisikan pula invers fungsi trigonometri hiperbolik. Sebagai contoh,

Nah, dari cosh y = ½(ey + e-y) = x, kita peroleh ey + e-y = 2x, dan akhirnya

Kemudian, dari rumus terakhir kita peroleh turunan dari y = cosh-1 x, yaitu

[Turunan dari y = cosh-1 x dapat pula diperoleh dari x = cosh y dengan Aturan Rantai dan kesamaan cosh2 x – sinh2 x = 1. Sila coba!]

Dalam artikel yang akan datang, saya akan memberikan contoh aplikasi menarik dari fungsi trginometri hiperbolik.

*

Bandung, 31-10-2017

Deret Maclaurin untuk cosh x dan sinh x

Tahun lalu, saya pernah menayangkan sepuluh deret pangkat istimewa, termasuk deret pangkat untuk ex, yakni

Nah, mengingat cosh x dan sinh x merupakan kombinasi sederhana dari ex dan e-x, kita dapat memperoleh deret pangkat untuk kedua fungsi trigonometri hiperbolik tersebut, yaitu

dan

Perhatikan bahwa cosh x + sinh x = ex, sesuai dengan definisi kedua fungsi trigonometri hiperbolik tersebut. Bandingkan kedua deret pangkat di atas dengan deret pangkat untuk cos x dan sin x. Apa persamaan dan perbedaannya?

*

Bandung, 27-10-2017

Fungsi Trigonometri Hiperbolik – I

Fungsi y = ex mempunyai turunan sama dengan dirinya sendiri, yakni ’ = y.  Dengan Aturan Rantai, fungsi y = ex mempunyai turunan ’ = –y. Nah, sekarang tinjau dua fungsi berikut:

y = ½ (ex + ex) = c(x)

dan

y = ½ (ex – ex) = s(x).

Faktor ½ sengaja ditambahkan secara khusus agar c(0) = 1. Lalu apa yang menarik dengan kedua fungsi ini?

Yang menarik adalah bahwa ’(x) = s(x) dan ’(x) = c(x). Fakta ini mirip dengan fakta tentang fungsi cos x dan sin x. (Bedanya, turunan dari cos x adalah –sin x). Selain itu, kita dapat memeriksa bahwa c(x)2s(x)2 = 1. Ini mirip dengan cos2 x + sin2 x = 1. Kemiripan lainnya: c(x) merupakan fungsi genap [c(-x) = c(x)] dan s(x) merupakan fungsi ganjil [yakni s(-x) = –s(x)].

Karena kemiripannya dengan fungsi cosinus dan sinus, kedua fungsi di atas dinamai fungsi cosinus hiperbolik dan sinus hiperbolik, dan dilambangkan dengan cosh x dan sinh x.

Bila (cos t, sin t) merupakan suatu titik pada lingkaran berjari-jari 1 yang berpusat di titik (0, 0), maka (cosh t, sinh t) merupakan suatu titik pada bagian hiperbola u2v2 = 1 yang berada di sebelah kanan sumbu vertikal (u > 0). Istilah ‘hiperbolik’ muncul semata-mata karena alasan ini. Berbeda dengan cos x dan sin x, baik cosh x maupun sinh x bukan fungsi periodik.

O ya, fungsi trigonometri hiperbolik diperkenalkan pada tahun 1760-an oleh Vincenzo Riccati (1707-1775) dan oleh Johann Heinrich Lambert (1728-1777). Notasi yang kita pakai sekarang adalah notasi yang diusulkan oleh Lambert.

*

Bandung, 24-10-2017

Masih tentang Fungsi Logistik

Fungsi logistik f(x) = ex/(1 + ex) merupakan fungsi trigonometri hiperbolik. Persisnya,

f(x) = ½ + ½ tanh(½∙x).

Di sini, tanh(x) = (ex – e-x)/(ex + ex) adalah fungsi tangen hiperbolik. Pada postingan berikutnya, kita akan membahas fungsi trigonometri hiperbolik dan sifat-sifatnya ya..

*

Bandung, 17-10-2017

Lebih Jauh tentang Fungsi Logistik

Fungsi logistik yang kita bahas sebelumnya merupakan suatu model matematika untuk pertumbuhan populasi pada suatu area yang terbatas. Tanpa memperhitungkan adanya batas tersebut, biasanya populasi bertumbuh secara eksponensial, dengan laju pertumbuhan pada setiap saat sebanding dengan besarnya populasi pada saat itu:

‘ = ky.

Dengan mengasumsikan bahwa area yang dapat ditinggali terbatas (sebutlah area maksimumnya A), laju pertumbuhan juga berbanding lurus dengan sisa area yang tersedia:

‘ = ky(Ay).

Nah, jika k = 1 dan A = 1, dan y(0) = 0,5, maka solusi persamaan diferensial di atas adalah y = ex/(1 + ex), sebagaimana telah dibahas dalam postingan sebelumnya.

Problem: Jika f(x) = ex/(1 + ex), tentukan f ‘(x), dan periksa bahwa ‘(x) = ‘(-x).

*

Bandung, 13-10-2017

Fungsi Logistik

Fungsi y = f(x) = ex/(1 + ex) dikenal sebagai fungsi logistik. Fungsi ini merupakan solusi persamaan diferensial logistik

‘ = y(1 – y)

dengan syarat awal y(0) = 1/2. Grafik fungsi logistik ini adalah sebagai berikut:

Perhatikan bahwa y → 1 ketika x → ∞. Kurva fungsi logistik dikenal pula sebagai kurva sigmoid, yang menyerupai bentuk huruf S.

*

Bandung, 10-10-2017