Ketaksamaan untuk exp x dan ln x

Buktikan dua ketaksamaan berikut:

  1. ex ≤ 1/(1 – x) untuk x < 1.
  2. ln xx – 1 untuk x > 0.

Untuk masing-masing ketaksamaan, tentukan nilai x yang membuat ketaksamaan tersebut menjadi kesamaan.

*

Bandung, 12-09-2017

Advertisements

Fungsi Konveks

Misalkan I suatu interval di R, bayangkan saja I = (a, b). Fungsi f : I → R dikatakan konveks apabila untuk setiap x, y ∈ I dan t ∈ [0, 1] berlaku

f(tx + (1 – t)y) ≤ tf(x) + (1 – t)f(y).

Jika f : I → R konveks dan x1 < x2 < x3 di I, maka

(x3x2)f(x1) + (x1x3)f(x2) + (x2x1)f(x3) ≥ 0.

Dari ketaksamaan ini, kita peroleh

sehingga f mempunyai turunan kiri dan turunan kanan di setiap titik dan

untuk setiap x ϵ I. Dengan analisis yang cermat (tetapi tidak trivial — seperti kata Fajar Yuliawan), dapat dibuktikan bahwa f kontinu pada I dan mempunyai turunan kecuali mungkin di sejumlah terhitung titik di I.

Akibatnya, jika f : I → R konveks, maka untuk setiap c ∈ I terdapat setidaknya sebuah garis yang melalui (c, f(c)) dan berada di bawah kurva y = f(x), yakni

f(c) + m(xc) ≤ f(x),     x ϵ I,

dengan m bergantung pada c. Jika f mempunyai turunan di c, maka m = f’(c); jika f tidak mempunyai turunan di c, maka m dapat dipilih di antara nilai turunan kiri dan turunan kanan f di c. Garis tersebut disebut sebagai garis penyangga f di (c, f(c)).

Sebagai contoh, jika f(x) = x2 dan c = 0, maka garis y = 0 merupakan garis penyangga f di (0, 0). Tetapi, jika f(x) = |x| dan c = 0, maka sembarang garis y = mx dengan -1 ≤ m ≤ 1 merupakan garis penyangga f di (0, 0) — lihat gambar di bawah ini.

*

Bandung, 08-09-2017

Ketaksamaan Hermite-Hadamard

Masih ingat ketaksamaan mrt yang menyatakan hubungan antara median, rerata, dan nilai tengah dari suatu data diskrit kan? Nah, untuk data kontinu, kita mempunyai ketaksamaan Hermite-Hadamard, yang lebih gamblang.

Jika f : [a, b] → R merupakan fungsi konveks (cekung ke atas), maka

M ≤ R ≤ T

dengan M:= f(½(a + b)) menyatakan nilai f di tengah [a, b], R menyatakan nilai rerata f pada [ab], yakni

dan T:= ½{f(a) + f(b)} menyatakan nilai tengah f pada [a, b].

Bukti ketaksamaan di atas cukup mudah. Karena f konveks, mestilah terdapat garis yang melalui titik (½(a + b), f(½(a + b)) dan berada di bawah kurva y = f(x). Selanjutnya kita tinggal membandingkan luas daerah di bawah garis ini, luas daerah di bawah kurva y = f(x), dan luas daerah di bawah ruas garis yang menghubungkan titik (a, f(a)) dan titik (b, f(b)). Secara visual, situasinya seperti pada gambar di bawah ini:

Kembali ke data diskrit, andai kita mempunyai informasi tambahan bahwa datanya naik dengan pertambahan yang semakin besar, maka kita dapat pula membuktikan bahwa m ≤ t. Sila coba!

*

Bandung, 05-09-2017

Ketaksamaan Minkowski

Dengan menggunakan ketaksamaan Hölder yang telah dibahas dalam artikel sebelumnya, kita dapat membuktikan ketaksamaan Minkowski, yang berbunyi sebagai berikut: Misalkan 1 ≤ p ≤ ∞. Maka, untuk setiap N ϵ N, berlaku

Sebagai akibatnya, ketaksamaan juga berlaku untuk deret tak terhingga, asalkan kedua deret di ruas kanan konvergen.

Bukti ketaksamaan Minkowski cukup cantik. Pertama, perhatikan bahwa

Sekarang misalkan q adalah eksponen dual dari p, sehingga (p – 1)q = p. Maka, dengan menggunakan ketaksamaan Holder, kita peroleh

Dengan demikian, ketaksamaan di atas menjadi

Dari ketaksamaan ini, kita peroleh

Tetapi 1 – 1/q = 1/p, dan kita dapatkan ketaksamaan yang diinginkan.

*

Bandung, 29-08-2017

Masih tentang Ketaksamaan Hoelder

Ketaksamaan Hölder yang telah kita bahas pada artikel sebelumnya juga berlaku untuk p = 1 dan q = ∞ (serta untuk p = ∞ dan q = 1). Persisnya, untuk sembarang barisan (xi) dan (yi), berlaku

asalkan ∑i |xi| < ∞ dan |yi| ≤ M untuk setiap i ϵ N. Buktinya trivial, tidak memerlukan trik apapun.

Nah, bila kita gabungkan ketaksamaan ini dengan ketaksamaan Hölder yang telah dibahas sebelumnya, maka secara keseluruhan ketaksamaan

berlaku untuk 1 ≤ p, q ≤ ∞ dengan 1/p + 1/q = 1, asalkan kedua deret di ruas kanan konvergen, dengan konvensi bahwa 1/∞ = 0 dan

untuk q = ∞.

By the way, untuk 1 < p < ∞, bilangan q yang memenuhi 1/p + 1/q = 1 disebut sebagai eksponen dual dari p. Perhatikan jika q merupakan eksponen dual dari p, maka p otomatis merupakan eksponen dual dari q. Nah, konvensi di atas menetapkan bahwa eksponen dual dari 1 adalah ∞ dan eksponen dual dari ∞ adalah 1.

*

Bandung, 25-08-2017

Ketaksamaan Hoelder

Pada artikel sebelumnya, saya menggunakan ketaksamaan Hölder untuk membuktikan ketaksamaan mrt. Ketaksamaan Hölder untuk deret berbunyi

ketaksamaan holder_1

untuk sembarang barisan (xi) dan (yi) dan 1 < p, q < ∞ dengan 1/p + 1/q = 1. Ketaksamaan berlaku untuk setiap deret terhingga, dan karenanya ketaksamaan juga berlaku deret tak terhingga, asalkan kedua deret di ruas kanan konvergen.

Berikut adalah buktinya untuk deret terhingga. Pertama, kita periksa bahwa untuk 1 < p, q < ∞ dengan 1/p + 1/q = 1, kita mempunyai (p – 1)q = p dan (p – 1)(q – 1) = 1. Kedua, untuk sembarang bilangan a, b ≥ 0, berlaku ab ≤ (ap)/p + (bq)/q. Ketaksamaan ini dapat dibuktikan dengan menggunakan konsep integral, terkait dengan daerah di kuadran pertama yang berada di bawah kurva y = xp – 1 dan daerah yang berada di sebelah kirinya. Persisnya, perhatikan gambar di bawah ini:

Dengan konsep integral, luas daerah di bawah kurva y = xp – 1 untuk 0 ≤ xa sama dengan L1 = (ap)/p. Sementara itu, dengan menghitung integral dari inversnya, yaitu x = yq – 1 untuk 0 ≤ yb, kita dapatkan luas daerah di sebelah kiri kurva sama dengan L2 = (bq)/q. Nah, bila b = ap – 1, maka L1 + L2 = ab (= luas persegi panjang dengan panjang a dan lebar b). Selain itu, kita peroleh L1 + L2 > ab. Jadi, secara umum, L1 + L2ab.

Sekarang, untuk setiap i, misalkan ai = |xi|/A dan bi = |yi|/B dengan

ketaksamaan holder_3

Maka ∑i aip = 1 dan ∑i biq = 1. Selanjutnya, untuk setiap i, kita mempunyai aibi ≤ (aip)/p + (biq)/q. Akibatnya, bila kita hitung jumlahnya, kita peroleh

Kalikan kedua ruas dengan AB, kita peroleh ketaksamaan Holder. Eureka!

O ya, catat bahwa untuk p = q = 2, kita peroleh ketaksamaan Cauchy-Schwartz, yang sudah pernah kita bahas jauh sebelumnya. Jadi ketaksamaan Cauchy-Schwarz merupakan kasus khusus dari ketaksamaan Hölder.

*

Bandung, 22-08-2017

Hubungan antara Rerata, Median, dan Nilai Tengah

Diberikan data bilangan x1, x2, … , xN (yang terurut naik), ada hubungan yang menarik antara rerata (r), median (m), dan nilai tengah (t), yaitu

Ketaksamaan mrt ini memberi tahu kita bahwa simpangan baku (terhadap rerata) senantiasa berada di antara rerata simpangan mutlak (terhadap median) dan simpangan maksimum (terhadap nilai tengah).

Ketaksamaan mrt hanya merupakan kasus khusus dari suatu ketaksamaan yang berlaku umum, yaitu

untuk 1 ≤ pq ≤ ∞, dengan μp menyatakan bilangan yang bersifat

untuk setiap x ϵ R. Dalam hal ini, μ1 = m (median), μ2 = r (rerata), dan μ = t (nilai tengah) — lihat dua artikel sebelumnya.

Untuk membuktikan ketaksamaan di atas, perhatikan bahwa

Ketaksamaan terakhir diperoleh dengan menggunakan Ketaksamaan Hölder. Sebagai akibatnya, kita peroleh

Selanjutnya tinggal bagi kedua ruas dengan N, lalu ambil akar ke-p dari kedua ruas.

Catatan: Apakah statistikawan memanfaatkan ketaksamaan mrt? Mungkin, tetapi saya tidak tahu persisnya untuk keperluan apa.

*

Bandung, 18-08-2017

Masih tentang Penaksir ‘Lokasi Pusat’ Data

Anda sudah mengenal rerata dan median dari sejumlah bilangan (atau data) x1, x2, … , xn, yang terurut naik. Lalu ada satu nilai lagi yang sering dipakai sebagai penaksir ‘lokasi pusat’ data selain rerata dan median, yaitu modus – yakni nilai yang paling sering muncul dalam data tersebut. Namun, dari sudut pandang teori ruang bernorma, sebetulnya ada satu nilai yang juga dapat dipakai sebagai penaksir lokasi pusat data, dan nilai ini dapat ditentukan dengan sangat mudah dan cepat, yaitu t = ½·(x1 + xn), yakni rerata aritmetik dari nilai terkecil dan nilai terbesar dari data yang kita miliki. Nilai ini dikenal sebagai ‘nilai tengah’ (mid-range). [Bila selama ini Anda menggunakan istilah ‘nilai tengah’ sebagai padanan untuk median, ke depan Anda perlu meralatnya: median adalah ‘nilai di tengah’, yakni nilai yang dicapai di tengah, bukan ‘nilai tengah’.]

Sebagai contoh, jika di suatu kelompok siswa diketahui tinggi badan terendahnya adalah 154 cm dan tinggi badan tertingginya 178 cm, maka dengan cepat kita dapat memperoleh nilai tengahnya, yaitu 166 cm. Nilai ini dapat kita pakai sebagai penaksir data tinggi badan siswa di kelompok tersebut.

Nah, bila rerata aritmetik meminimumkan galat kuadrat total, nilai tengah meminimumkan apa ya? Sila selidiki!

*

Bandung, 15-08-2017

Rerata Aritmetik Meminimumkan Galat Kuadrat Total

Selain merupakan penaksir tak bias dari n bilangan yang diwakilinya, rerata aritmetik juga meminimumkan galat kuadrat total.

Persisnya, diberikan n bilangan real x1, x2, … , xn, misalkan kita ingin menentukan suatu bilangan x sedemikian sehingga

Perhatikan bahwa

suatu fungsi kuadrat dalam x. Nah, bagi Anda yang sudah akrab dengan fungsi kuadrat, Anda pasti tahu bahwa E akan mencapai nilai minimum ketika

yakni ketika x sama dengan rerata aritmetik dari x1, x2, … , xn. Jadi rerata aritmetik adalah penaksir yang meminimumkan galat kuadrat total.

Problem: Tentukan bilangan x yang meminimumkan

apabila x1 < x2 < … < xn.

*

Bandung, 11-08-2017