Bilangan Negatif sebagai Pasangan Bilangan

Bila bilangan pecahan seperti  melibatkan dua bilangan bulat, yaitu 1 dan 2, dan kemudian kita nyatakan sebagai pasangan bilangan bagaimana dengan bilangan negatif?

Baiklah, saya harus menjelaskan dahulu, apa motivasinya menyatakan bilangan pecahan atau bilangan negatif sebagai pasangan bilangan bulat? Pertama, dan merupakan representasi atau cara penulisan bilangan. Nah, representasi tersebut bukan satu-satunya cara. Menyatakannya sebagai pasangan bilangan merupakan cara lainnya.

Kedua, bilangan negatif sering menjadi masalah buat siswa. Mengapa negatif kali negatif jadi positif, misalnya. Nah, melalui pasangan bilangan, mudah-mudahan hal ini bisa terkonfirmasi.

Bila bilangan pecahan melibatkan dua bilangan bulat, bilangan negatif melibatkan dua bilangan asli. Persisnya, ketika kita melakukan pengurangan sebuah bilangan asli dengan bilangan asli lain yang lebih besar, kita peroleh sebuah bilangan negatif. Sebagai contoh, (Namun, catat bahwa kita juga mempunyai misalnya.)

Kita tentunya mengetahui bahwa pengurangan sebuah bilangan asli dengan bilangan asli yang lebih kecil akan menghasilkan sebuah bilangan positif. Secara umum, operasi pengurangan pada bilangan asli akan menghasilkan bilangan bulat. Himpunan bilangan negatif dalam hal ini merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat. Nah, kita akan membahas bilangan bulat sebagai pasangan bilangan, dan mengidentifikasi bilangan bulat mana yang merupakan bilangan negatif.

Berawal dari himpunan bilangan asli  dengan operasi perkalian dan penjumlahan serta urutan padanya: karena ), himpunan bilangan bulat dapat dipandang sebagai himpunan pasangan bilangan asli  dengan relasi ekuivalen

 jika dan hanya jika 

Sebagai contoh, keduanya menyatakan bilangan negatif Secara umum, ketika pasangan bilangan menyatakan bilangan bulat negatif.

Dalam bentuk pasangan bilangan, penjumlahan dan perkalian bilangan bulat didefinisikan sebagai

 dan 

Sebagai contoh,  dan 

Nah, sekarang perhatikan apa yang terjadi jika kita mengalikan dua bilangan negatif dan Di sini, dan Menurut definisi di atas,

Kita akan membuktikan bahwa Untuk itu kita misalkan (atau tetapi di sini kita sedang menghindari operasi pengurangan). Sekarang kita periksa: Selanjutnya, tambahkan kedua ruas dengan kita peroleh

Eureka! Kita telah membuktikan bahwa hasil kali dua bilangan negatif adalah bilangan positif.

Artikel ini memberikan alternatif untuk memahami bilangan negatif sebagai pasangan bilangan. Tentu saja, bagi siswa sekolah dasar, cara ini tidak mudah. Namun, di SMA, topik ini bisa diberikan sebagai wawasan, bagaimana kita membangun bilangan bulat dari bilangan asli, dan juga membangun bilangan rasional dari bilangan bulat.

*

Bandung, 16-05-2020