Bilangan Negatif sebagai Pasangan Bilangan

Bila bilangan pecahan seperti \frac12 melibatkan dua bilangan bulat, yaitu 1 dan 2, dan kemudian kita nyatakan sebagai pasangan bilangan (1,2), bagaimana dengan bilangan negatif?

Baiklah, saya harus menjelaskan dahulu, apa motivasinya menyatakan bilangan pecahan atau bilangan negatif sebagai pasangan bilangan bulat? Pertama, \frac12 dan -2 merupakan representasi atau cara penulisan bilangan. Nah, representasi tersebut bukan satu-satunya cara. Menyatakannya sebagai pasangan bilangan merupakan cara lainnya.

Kedua, bilangan negatif sering menjadi masalah buat siswa. Mengapa negatif kali negatif jadi positif, misalnya. Nah, melalui pasangan bilangan, mudah-mudahan hal ini bisa terkonfirmasi.

Bila bilangan pecahan melibatkan dua bilangan bulat, bilangan negatif melibatkan dua bilangan asli. Persisnya, ketika kita melakukan pengurangan sebuah bilangan asli dengan bilangan asli lain yang lebih besar, kita peroleh sebuah bilangan negatif. Sebagai contoh, 1-5=-4. (Namun, catat bahwa kita juga mempunyai 2-6=-4, misalnya.)

Kita tentunya mengetahui bahwa pengurangan sebuah bilangan asli dengan bilangan asli yang lebih kecil akan menghasilkan sebuah bilangan positif. Secara umum, operasi pengurangan pada bilangan asli akan menghasilkan bilangan bulat. Himpunan bilangan negatif dalam hal ini merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat. Nah, kita akan membahas bilangan bulat sebagai pasangan bilangan, dan mengidentifikasi bilangan bulat mana yang merupakan bilangan negatif.

Berawal dari himpunan bilangan asli \mathbb{N}, dengan operasi perkalian dan penjumlahan serta urutan padanya: 3>2 karena 3=2+1), himpunan bilangan bulat dapat dipandang sebagai himpunan pasangan bilangan asli (m,n) dengan relasi ekuivalen

(m,n) \equiv (p,q) jika dan hanya jika m+q=n+p.

Sebagai contoh, (1,5)\equiv (2,6), keduanya menyatakan bilangan negatif -4. Secara umum, ketika m<n, pasangan bilangan (m,n) menyatakan bilangan bulat negatif.

Dalam bentuk pasangan bilangan, penjumlahan dan perkalian bilangan bulat didefinisikan sebagai

(m,n)+(p,q)=(m+p,n+q) dan (m,n)*(p,q)=(mp+nq,mq+np).

Sebagai contoh, (1,2)+(1,5)=(2,7) dan (1,2)*(1,5)=(11,7).

Nah, sekarang perhatikan apa yang terjadi jika kita mengalikan dua bilangan negatif (m,n) dan (p,q). Di sini, m<n dan p<q. Menurut definisi di atas,

(m,n)*(p,q)=(mp+nq,mq+np).

Kita akan membuktikan bahwa mp+nq>mq+np. Untuk itu kita misalkan q=p+r (atau r=p-q, tetapi di sini kita sedang menghindari operasi pengurangan). Sekarang kita periksa: nq=np+nr>np+mr. Selanjutnya, tambahkan kedua ruas dengan mp, kita peroleh

mp+nq>mp+np+mr=m(p+r)+np=mq+np.

Eureka! Kita telah membuktikan bahwa hasil kali dua bilangan negatif adalah bilangan positif.

Artikel ini memberikan alternatif untuk memahami bilangan negatif sebagai pasangan bilangan. Tentu saja, bagi siswa sekolah dasar, cara ini tidak mudah. Namun, di SMA, topik ini bisa diberikan sebagai wawasan, bagaimana kita membangun bilangan bulat dari bilangan asli, dan juga membangun bilangan rasional dari bilangan bulat.

*

Bandung, 16-05-2020

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s