Bilangan Kompleks sebagai Pasangan Bilangan

Persamaan kuadrat ax^2+bx+c=0 mempunyai sepasang akar kompleks x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} bila b^2-4ac<0. Kedua akar kompleks tersebut biasanya dituliskan sebagai

x_{1,2}=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}i,

dengan i menyatakan bilangan imajiner yang memenuhi i^2=-1. Disebut bilangan imajiner karena tidak ada bilangan real x yang memenuhi persamaan x^2=-1.

Sistem bilangan kompleks merupakan sistem bilangan yang ‘lebih luas’ daripada sistem bilangan real. Di perguruan tinggi, ada satu mata kuliah yang khusus membahas fungsi  kompleks, yaitu fungsi yang terdefinisi untuk bilangan kompleks dan nilainya juga bilangan kompleks.

Bagi Anda yang sulit menerima bilangan imajiner i dan bilangan kompleks yang berbentuk a+bi dengan a,b\in\mathbb{R}, ada alternatif lain untuk memahaminya, yaitu dengan mempelajarinya sebagai pasangan bilangan (a,b), dengan a,b\in\mathbb{R}.

Penjumlahan dan perkalian dua bilangan kompleks (a,b) dan (c,d) dalam hal ini didefinisikan sebagai

(a,b)+(c,d):=(a+c,b+d);

(a,b)*(c,d):=(ac-bd,ad+bc).

Perhatikan bahwa

(a,0)+(b,0)=(a+b,0)\ {\rm dan}\ (a,0)*(b,0)=(ab,0)

dan

(a,b)*(1,0)=(a,b).

Fakta pertama mengisaratkan bahwa pasangan (a,0) bersifat seperti bilangan real a, dan fakta kedua memberi tahu kita bahwa pasangan (1,0) merupakan unsur identitas perkalian, seperti halnya bilangan 1 di \mathbb{R}.

Nah, selanjutnya kita mempunyai

(0,1)^2=(0,1)*(0,1)=(-1,0).

Jadi ada pasangan bilangan (0,1) yang kuadratnya sama dengan (-1,0). Bila kita padankan pasangan (-1,0) dengan bilangan real -1, maka pasangan bilangan (0,1) inilah yang kita anggap bilangan imajiner i.

‘Bilangan’ i tersebut berada di luar \mathbb{R}. Selanjutnya, setiap bilangan kompleks (a,b) dapat dinyatakan sebagai

(a,b)=a(1,0)+b(0,1),

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai a.1+b.i atau a+bi.

*

Bandung, 19-05-2020

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s