Fungsi Kompleks

Misal D\subseteq \mathbb{C}. Fungsi f:D\to \mathbb{C} yang memetakan setiap bilangan z\in D ke bilangan w:=f(z) disebut fungsi kompleks.

Perhatikan jika z:=x+iy dipetakan ke w:=u+iv, maka u dan v merupakan fungsi dari x dan y.

Fungsi kompleks seperti fungsi dari \mathbb{R}^2 ke \mathbb{R}^2. Namun, secara umum, fungsi ini merupakan fungsi non-linear (bukan suatu transformasi linear).

Sebagai contoh, tinjau fungsi f(z):=\frac{1}{z},\ z\not=0. Dengan menuliskan z=x+iy, kita peroleh

f(z)=f(x+iy)=\frac{1}{x+iy}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2}i.

Fungsi ini memetakan bilangan kompleks dengan modulus 1 ke bilangan kompleks (lainnya) yang juga memiliki modulus 1. Namun, bila z berada di dekat 0, maka f(z)=\frac{1}{z} berada jauh di luar lingkaran berjari-jari 1.

Contoh lainnya adalah fungsi f(z):=z^2. Jika z=x+iy, maka

f(z)=f(x+iy)=(x+iy)^2 = x^2-y^2 + 2xyi.

Fungsi ini juga memetakan bilangan kompleks dengan modulus 1 ke bilangan kompleks (lainnya) yang juga memiliki modulus 1. Namun, bila z berada di dekat 0, maka f(z)=z^2 juga berada di dekat 0 (bahkan lebih mendekat ke 0 daripada posisi z semula).

Catat bahwa kita tidak dapat menggambar grafik fungsi kompleks semudah menggambar grafik fungsi dari \mathbb{R} ke \mathbb{R}, karena fungsi kompleks menyerupai fungsi dari \mathbb{R}^2 ke \mathbb{R}^2, yakni fungsi bernilai vektor dengan peubah vektor. Namun ada cara untuk memahami perilaku fungsi kompleks, yang akan saya jelaskan nanti — pada artikel berikutnya.

*

Bandung, 16-06-2020

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s