Kubah Setengah Bola

Saya, pura-puranya, sedang membangun sebuah kubah berbentuk setengah bola berdiameter d.

dome-1

Permukaan kubah tersebut saya bagi atas tujuh bagian sejajar sama lebar, sehingga bila dilihat dari depan akan tampak sebagai berikut:

dome-2

Nah, masing-masing bagian akan dicat dengan warna berbeda, katakanlah (dari kiri ke kanan): merah, jingga, kuning, hijau, biru, nila, ungu.

Bila untuk setiap satuan luas yang sama diperlukan volume cat yang sama, tidak tergantung pada warnanya, tentukan perbandingan volume cat yang diperlukan antara bagian yang satu dan lainnya. Jelaskan bagaimana Anda memperoleh perbandingan tersebut!

*

Bandung, 05-11-2016

Advertisements

2 comments

  1. Perbandingan volume cat antara daerah satu dengan yang lain adalah 1:1:1:1:1:1:1 – dengan kata lain – semua daerah tersebut memerlukan volume cat yang sama!

    Saya curiga cara saya agak “overkill”, sih, Pak, tapi mudah-mudahan tidak salah 😛

    Kita cukup memandang bola dengan jari-jari 1, karena yang kita butuhkan perbandingannya. Lebih lanjut, kita dapat memandang suatu bola dengan jari-jari 1 sebagai benda putar yang dibetnuk dengan cara memutar paruh atas lingkaran satuan, yang dinyatakan sebagai y = \sqrt{1 - x^2}, terhadap sumbu X.

    Dengan cara ini, kita dapat menghitung bahwa luas permukaan bagian bola yang dibentuk oleh putaran lingkaran satuan yang dibatasi oleh garis x = x_1 dan x = x_2, dengan x_1 < x_2 sebagai

    \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} 2 \pi y ds

    dengan \displaystyle \sqrt{ 1 + (\frac{dy}{dx})^2}, yakni panjang (potongan) kurva, dalam hal ini busur lingkaran.

    Karena kita hanya membutuhkan setengah lingkaran, kita dapat menulis

    \displaystyle \int_{x_1}^{x_2}  \pi y ds

    Dari persamaan untuk paruh atas lingkaran y = \sqrt{1 - x^2}, kita dapatkan

    \displaystyle \int_{x_1}^{x_2}  \pi y ds = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1-x^2} \sqrt{1 + \frac{x^2}{1-x^2} }

    yang memberikan kita hasil \pi (x_2 - x_1).

    Karena setiap bagian yang akan dicat berbeda memiliki lebar sama, yakni 2/7 dalam bola satuan, maka seluruh bagian tersebut akan memiliki luas permukaan $ 2\pi / 7$ – yang artinya butuh volume cat yang sama untuk setiap bagian.

    Like

    1. Aduh, keburu tekan Post Comment sebelum selesai menyunting; solusi saya banyak sekali salah tiknya 😦

      “…dengan \sqrt{ 1 + (\frac{dy}{dx})^2 } ” seharusnya “dengan ds = \sqrt{ 1 + (\frac{dy}{dx})^2 } “,

      \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1-x^2} \sqrt{1 + \frac{x^2}{1-x^2} } seharusnya
      \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1-x^2} \sqrt{1 + \frac{x^2}{1-x^2} } \ dx,

      $ 2\pi / 7$ seharusnya 2\pi / 7.

      Like

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s