ketaksamaan Bernoulli

Bukti Ketaksamaan Pangkat + Eksponen

Penasaran dengan ketaksamaan pangkat + eksponen pada postingan sebelumnya? Ketaksamaan ini loh: jika x, y > 0, maka xy + yx > 1. Arini S. Putri sudah memberikan buktinya, tetapi detilnya belum sempurna. Saya perbaiki buktinya sebagai berikut. Jika salah satu di antara x atau y bernilai lebih besar daripada atau sama dengan 1, maka ketaksamaan jelas berlaku. Sekarang asumsikan x dan y lebih kecil daripada 1. Alih-alih menghitung xy dan yx,  kita hitung 1/xy dan 1/yx. Menggunakan ketaksamaan Bernoulli II, kita mempunyai

Dengan cara yang sama, kita mempunyai

Karena itu, kita peroleh

Menurut saya, bukti di atas cukup cantik — saya menyukainya. Terima kasih kepada Arini S. Putri atas ide pembuktiannya. Anda pantas mendapat hadiah T-shirt Bermatematika, yang dapat Anda ambil pada acara Peluncuran Buku “Bermatematika: Bukan Sekadar Berhitung” di Gedung CAS-ITB, Senin 2 Oktober 2017, pukul 14.00-16.00.

*

Bandung, 29-09-2017

Advertisements

Ketaksamaan Bernoulli

Salah satu ketaksamaan penting dalam matematika adalah ketaksamaan Bernoulli: jika p ≥ 1, maka

(1 + a)p ≥ 1 + pa,

untuk setiap a > -1.

Untuk a = 0, ketaksamaan jelas berlaku. Selanjutnya misalkan a > 0. Dalam hal ini ketaksamaan di atas setara dengan

Untuk membuktikannya, tinjau fungsi f(x) = (1 + x)p, x ≥ 0. Ketaksamaan di atas berbunyi

Karena f kontinu dan mempunyai turunan pada (0, ∞), menurut Teorema Nilai Rerata untuk turunan, terdapat c di antara 0 dan a sedemikian sehingga

Tetapi

f’(c) = p(1 + c)p – 1p(1 + c)0 = p

mengingat 1 + c > 1. Jadi ketaksamaan terbukti untuk a > 0. Selanjutnya, untuk -1 < a < 0, ketaksamaan Bernoulli setara dengan

Dengan cara serupa seperti di atas, dan mengingat 0 < 1 + c < 1, kita mempunyai

f’(c) = p(1 + c)p – 1p(1 + c)0 = p.

Jadi ketaksamaan pun terbukti untuk -1 < a < 0.

Nah, dengan ketaksamaan Bernoulli, Anda dapat membuktikan perbandingan bunga majemuk yang diminta minggu lalu.

O ya, barangkali ada yang belum tahu, ada tiga matematikawan asal Swiss yang memiliki nama belakang Bernoulli, yaitu Jacob Bernoulli, Johann Bernoulli, dan Daniel Bernoulli. Jacob dan Johann adalah kakak dan adik. Daniel adalah anak dari Johann. Nah, siapakah di antara mereka yang namanya disematkan pada ketaksamaan di atas?

*

Bandung, 19-09-2017