Operator Terbatas

Dalam beberapa paper yang saya tulis, saya kerap membahas tentang keterbatasan operator ini dan itu pada ruang Lebesgue atau ruang lainnya (kelak). Apa sih yang dimaksud dengan operator terbatas itu?

Pertama, yang disebut sebagai operator adalah suatu pemetaan dari ruang bernorma ke ruang bernorma (yang mungkin berbeda dari ). Nah, operator dikatakan terbatas apabila terdapat suatu konstanta sedemikian sehingga

untuk setiap Di sini, dan menyatakan norma pada dan norma pada berturut-turut. Jadi, jika terbatas, maka memetakan himpunan terbatas di ke himpunan terbatas di

Tentunya tidak setiap operator akan merupakan operator terbatas. Sebagai contoh, operator turunan bukan merupakan operator terbatas dari ruang fungsi terdiferensialkan secara kontinu pada ke ruang fungsi kontinu pada dengan norma

Untuk memastikannya, ambil Dalam hal ini, Di sini, sedangkan untuk setiap Karena itu tidak terdapat sedemikian sehingga untuk setiap fungsi yang terdiferensialkan secara kontinu pada

Catat jika linear (yakni, jika untuk setiap dan skalar), maka keterbatasan operator akan diikuti dengan kekontinuan karena untuk setiap Dalam aplikasi, seringkali kita berharap bahwa operator yang sedang kita kaji merupakan operator yang kontinu.

*

Bandung, 15-08-2018