Operator Terbatas

Dalam beberapa paper yang saya tulis, saya kerap membahas tentang keterbatasan operator ini dan itu pada ruang Lebesgue atau ruang lainnya (kelak). Apa sih yang dimaksud dengan operator terbatas itu?

Pertama, yang disebut sebagai operator adalah suatu pemetaan dari ruang bernorma X ke ruang bernorma Y (yang mungkin berbeda dari X). Nah, operator T:X\to Y dikatakan terbatas apabila terdapat suatu konstanta C>0 sedemikian sehingga

\|Tx\|_Y \le C\,\|x\|_X

untuk setiap x\in X. Di sini, \|\cdot\|_X dan \|\cdot\|_Y menyatakan norma pada X dan norma pada Y, berturut-turut. Jadi, jika T:X\to Y terbatas, maka T memetakan himpunan terbatas di X ke himpunan terbatas di Y.

Tentunya tidak setiap operator akan merupakan operator terbatas. Sebagai contoh, operator turunan bukan merupakan operator terbatas dari ruang fungsi terdiferensialkan secara kontinu pada [0,1] ke ruang fungsi kontinu pada [0,1], dengan norma \|f\|_\infty :=\sup \{|f(x)|\,:\,x\in[0,1]\}.

Untuk memastikannya, ambil f_k(x):=x^k\ (k\in{\bf N}). Dalam hal ini, (f_k)'(x)=kx^{k-1}. Di sini, \|(f_k)'\|_\infty =k sedangkan \|f_k\|_\infty=1 untuk setiap k\in{\bf N}. Karena itu tidak terdapat C>0 sedemikian sehingga \|f'\|_\infty \le C\,\|f\|_\infty untuk setiap fungsi f yang terdiferensialkan secara kontinu pada [0,1].

Catat jika T:X\to Y linear (yakni, jika T(\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2)=\alpha_1 Tx_1+\alpha_2 Tx_2 untuk setiap x_1,x_2\in X dan \alpha_1,\alpha_2 skalar), maka keterbatasan operator T akan diikuti dengan kekontinuan T, karena \|Tx_1 - Tx_2\|_Y = \|T(x_1-x_2)\|_Y \le C\,\|x_1-x_2\|_X untuk setiap x_1,x_2\in X. Dalam aplikasi, seringkali kita berharap bahwa operator yang sedang kita kaji merupakan operator yang kontinu.

*

Bandung, 15-08-2018

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s