Deret Fourier vs Deret Taylor

Hendra Gunawan

Kita masih ingat bagaimana menguraikan sebuah fungsi f sebagai deret Taylor di sekitar suatu titik x_0 dalam daerah definisinya:

f(x)=\sum_{n=0}^\infty {{f^{(n)}(x_0)}\over{n!}}(x-x_0)^n,\quad |x-x_0|<r,

asalkan f dapat diturunkan tak hingga kali di x_0, dan suku sisa Taylor-nya menuju 0 pada interval tersebut. Kecepatan kekonvergan deret Taylor di x bergantung pada seberapa jauh x dari x_0. Secara umum, jumlah parsial dari deret Taylor dapat memberikan hampiran yang sangat baik di dekat x_0 selama x cukup dekat ke x_0.

Berbeda dengan deret Taylor, deret Fourier untuk fungsi f yang periodik dengan periode 2L tidak mengharuskan f mempunyai turunan tiap orde. Bila f cukup mulus pada interval [-L,L], jumlah parsial dari deret Fourier akan konvergen ke f cukup cepat dan secara seragam, serta memberikan hampiran yang baik pada [-L,L]. (Kita telah membahas hal ini minggu lalu untuk L=\pi.)

Jadi, bila deret Taylor terkait erat dengan perilaku lokal fungsi, maka deret Fourier terkait erat dengan perilaku global fungsi. Bila deret Taylor dibentuk oleh turunan-turunan dari fungsinya, deret Fourier bertumpu pada integral dari hasil kali fungsinya dengan fungsi basis (yaitu e_n(x):=e^{inx},\ n\in\mathbb{N}.)

*

Bandung, 12-10-2019

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s