Hukum Jajaran Genjang di Ruang Hasil Kali Dalam

Hendra Gunawan,

Di ruang Euclid {\bf R}^n, berlaku Hukum Jajaran Genjang

\|x+y\|^2+\|x-y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2,

untuk setiap x,y\in{\bf R}^n. Nah, secara umum, Hukum Jajaran Genjang berlaku di ruang hasil kali dalam (X,\langle \cdot,\cdot\rangle), dengan norma \|x\|:=\langle x,x\rangle^{1/2}.

Buktinya mudah, kita tinggal menghitung kedua suku di ruas kiri:

\|x+y\|^2=\langle x+y,x+y\rangle = \|x\|^2+2\langle x,y\rangle+\|y\|^2,

dan

\|x-y\|^2=\langle x-y,x-y\rangle = \|x\|^2-2\langle x,y\rangle+\|y\|^2,

lalu jumlahkan, sehingga kita peroleh bentuk di ruas kanan.

Hukum Jajaran Genjang menjadi penciri norma yang diinduksi dari hasil kali dalam. Jika kita sedang berada di ruang bernorma dan kita ingin tahu apakah normanya berasal dari suatu ruang hasil kali dalam, kita tinggal memeriksa keberlakuan Hukum Jajaran Genjang.

Jika Hukum Jajaran Genjang berlaku, maka kita dapat merekonstruksi hasil kali dalam dari norma yang ada, melalui

\langle x,y\rangle := \frac14 \left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right).

Sila periksa bahwa pemetaan \langle \cdot,\cdot\rangle ini memang memenuhi sifat-sifat hasil kali dalam.

*

Bandung, 20-10-2018

 

 

Unknown's avatar

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia.

Leave a comment