Ketakkontinuan Fungsi Monoton

Ambil sebuah fungsi f yang monoton pada [a, b], seberapa burukkah fungsi f yang kita ambil tersebut? Fungsi f yang kita ambil tadi mungkin tidak kontinu di sejumlah titik. Pertanyaannya: paling banyak berapa titik? Jawabannya: bisa tak terhingga, tapi pasti terhitung (countable). Begini argumentasinya.

Berdasarkan penjelasan pada artikel sebelumnya, ketakkontinuan yang mungkin terjadi pada f hanya ketakkontinuan loncat. Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan f monoton naik. Nah, sekarang, sambil membayangkan grafik fungsi f, kita dapat menyimpulkan bahwa terdapat paling banyak 1 titik pada [a, b], sebutlah d₁, di mana f tidak kontinu dengan loncatan sebesar h₁ dengan [f(b) – f(a)]/2 < h₁ ≤ f(b) – f(a). Kemudian, terdapat paling banyak 2 titik pada [a, b], sebutlah d₂₁ dan d₂₂, di mana f tidak kontinu dengan loncatan sebesar h₂ dengan [f(b) – f(a)]/3 < h₂ ≤ [f(b) – f(a)]/2. Secara umum, terdapat paling banyak n titik pada [a, b], sebutlah d_n1, …, d_nn, di mana f tidak kontinu dengan loncatan sebesar h_n dengan [f(b) – f(a)]/(n+1) < h_n ≤ [f(b) – f(a)]/n, untuk n = 1, 2, 3, … . Nah, himpunan titik-titik di mana f mungkin tidak kontinu, yaitu {d₁, d₂₁, d₂₂, d₃₁, d₃₂, d₃₃, …}, merupakan himpunan terhitung. Begitulah argumentasinya.

Sekarang ada problem untuk Anda: Konstruksilah sebuah fungsi monoton pada [0, 1] yang tidak kontinu pada suatu himpunan terbilang (yakni, terhitung tapi tak terhingga).

*

Bandung, 30-05-2017