ketakkontinuan loncat

Ketakkontinuan Fungsi Monoton

Ambil sebuah fungsi f yang monoton pada [a, b], seberapa burukkah fungsi f yang kita ambil tersebut? Fungsi f yang kita ambil tadi mungkin tidak kontinu di sejumlah titik. Pertanyaannya: paling banyak berapa titik? Jawabannya: bisa tak terhingga, tapi pasti terhitung (countable). Begini argumentasinya.

Berdasarkan penjelasan pada artikel sebelumnya, ketakkontinuan yang mungkin terjadi pada f hanya ketakkontinuan loncat. Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan f monoton naik. Nah, sekarang, sambil membayangkan grafik fungsi f, kita dapat menyimpulkan bahwa terdapat paling banyak 1 titik pada [a, b], sebutlah d1, di mana f tidak kontinu dengan loncatan sebesar h1 dengan [f(b) – f(a)]/2 < h1 ≤ f(b) – f(a). Kemudian, terdapat paling banyak 2 titik pada [a, b], sebutlah d21 dan d22, di mana f tidak kontinu dengan loncatan sebesar h2 dengan [f(b) – f(a)]/3 < h2 ≤ [f(b) – f(a)]/2. Secara umum, terdapat paling banyak n titik pada [a, b], sebutlah dn1, …, dnn, di mana f tidak kontinu dengan loncatan sebesar hn dengan [f(b) – f(a)]/(n+1) < hn ≤ [f(b) – f(a)]/n, untuk n = 1, 2, 3, … . Nah, himpunan titik-titik di mana f mungkin tidak kontinu, yaitu {d1, d21, d22, d31, d32, d33, …}, merupakan himpunan terhitung. Begitulah argumentasinya.

Sekarang ada problem untuk Anda: Konstruksilah sebuah fungsi monoton pada [0, 1] yang tidak kontinu pada suatu himpunan terbilang (yakni, terhitung tapi tak terhingga).

*

Bandung, 30-05-2017

Advertisements

Fungsi Monoton

Fungsi f dikatakan naik pada [a, b] apabila untuk setiap x, y ∈ [a, b] dengan x < y berlaku f(x) ≤ f(y). Fungsi f dikatakan turun pada [a, b] apabila untuk setiap x, y ∈ [a, b] dengan x < y berlaku f(x) ≥ f(y). Fungsi naik atau turun pada [a, b] disebut fungsi monoton pada [a, b].

Setiap fungsi monoton pada [a, b] mempunyai limit kiri dan limit kanan di setiap titik c ∈ (a, b). Tentunya ia juga akan mempunyai limit kanan di a dan limit kiri di b. Nah, selanjutnya kita gunakan notasi

limit kiri

dan

limit kanan

asalkan kedua limit ini ada. Maka, kita mempunyai fakta berikut:

1. Jika f monoton naik pada [a, b], maka limit kanan di adanlimit kiri di b

Sebagai akibatnya, kita juga mempunyai fakta berikut:

2. Misalkan f monoton naik pada [a, b]. Jika c di (a, b), maka f(c  ̶) dan f(c+) ada, dan

f(x) ≤ f(c  ̶) ≤ f(c) ≤ f(c+) ≤ f(y)

untuk setiap x dan y dengan ax < c < yb.

Fakta terakhir memberi tahu kita bahwa suatu fungsi monoton mungkin tidak kontinu di suatu titik, tetapi ketakkontinuan yang mungkin terjadi hanyalah ketakkontinuan loncat.

Pada artikel berikutnya, kita akan membahas himpunan titik diskontinuitas suatu fungsi monoton.

*

Bandung, 26-05-2017