Bukti Geometris bahwa √2 Irasional

Bilangan irasional √2 telah dikenal oleh Pythagoras dan para muridnya, sejak abad ke-5 SM. Bukti klasik yang mengesahkan statusnya sebagai bilangan irasional berbunyi sebagai berikut: Andaikan √2 rasional, yakni terdapat bilangan asli m dan n, dengan FPB(m,n) = 1, sedemikian sehingga m/n = √2. Dalam hal ini, kita mempunyai m2 = 2n2, yang berarti bahwa m2 genap. Akibatnya, m juga genap, yakni m = 2k untuk suatu bilangan asli k, dan n mestilah ganjil — karena FPB(m,n) = 1. Selanjutnya, substitusikan m = 2k ke persamaan m2 = 2n2, kita peroleh 4k2 = 2n2 atau 2k2 = n2. Ini berarti bahwa n2 genap, dan akibatnya n juga genap. Jadi n ganjil dan sekaligus genap, sesuatu yang mustahil! Karena itu kita simpulkan bahwa √2 tidak mungkin rasional. [Bukti seperti ini dikenal sebagai Bukti Tidak Langsung atau Bukti dengan Kontradiksi.]

Dalam matematika, sebuah dalil kadang dapat dibuktikan dengan beberapa cara. Nah, selain bukti di atas, terdapat pula bukti geometris yang mengukuhkan irasionalitas √2, sebagai berikut. Andaikan, seperti tadi, terdapat bilangan asli m dan n, dengan FPB(m,n) = 1, sedemikian sehingga m/n = √2. Secara geometris, ini setara dengan eksistensi sebuah segitiga siku-siku sama kaki, ∆ABC, dengan alas dan tinggi sama dengan n dan sisi miring m. Karena FPB(m,n) = 1, segitiga ini merupakan segitiga siku-siku sama kaki TERKECIL yang ketiga panjang sisinya bilangan asli. Sekarang, tarik busur lingkaran BD dengan titik pusat A, dan tarik garis DE yang menyinggung busur lingkaran di D, seperti pada gambar. Kita peroleh segitiga siku-siku sama kaki ∆CDE, dengan CD = DE = mn, yang merupakan bilangan asli.

akar2 irasional

Selanjutnya, bila kita tarik garis AE (tidak diperlihatkan pada gambar), kita peroleh ∆ABE sama dan sebangun dengan ∆ADE. Akibatnya, BE = DE = mn dan CE = n – (mn) = 2nm, yang juga merupakan bilangan asli. Jadi ∆CDE merupakan segitiga siku-siku sama kaki yang LEBIH KECIL daripada ∆ABC dan juga memiliki panjang alas, tinggi, dan sisi miring bilangan asli. Ini bertentangan dengan fakta bahwa ∆ABC merupakan segitiga terkecil yang bersifat demikian. Jadi, pengandaian bahwa √2 rasional mestilah salah.

Anda juga dapat membuktikan bahwa √5 irasional secara geometris, seperti di atas. Sila coba!

*

Bandung, 23-04-2016

Advertisements

One comment

  1. Pengetahuan baru pak, ternyata pembuktiannya bisa melibatkan konsep geometri juga. thanks, mudah-mudahan bisa dibagikan kepada yang lain

    Like

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s